Giải tích Ví dụ

$8 \cos (x) \sin (y) = 6$

Step 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (8 \cos (x) \sin (y)) = \frac{d}{d x} (6)$

Step 2

Tính đạo hàm vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 \cos (x) \sin (y)$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (y)]$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = \sin (y)$ .

$8 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$8 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$8 (\cos (x) (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$8 (\cos (x) (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$8 (\cos (x) \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Đạo hàm của $\cos (x)$ đối với $x$ là $- \sin (x)$ .

$8 (\cos (x) \cos (y) y' + \sin (y) (- \sin (x)))$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$8 (\cos (x) \cos (y) y') + 8 (\sin (y) (- \sin (x)))$

Nhân $- 1$ với $8$ .

$8 \cos (x) \cos (y) y' - 8 \sin (y) \sin (x)$

Sắp xếp lại các số hạng.

$8 \cos (x) \cos (y) y' - 8 \sin (x) \sin (y)$

Step 3

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Step 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$8 \cos (x) \cos (y) y' - 8 \sin (x) \sin (y) = 0$

Step 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại các thừa số trong $8 \cos (x) \cos (y) y' - 8 \sin (x) \sin (y)$ .

$8 y' \cos (x) \cos (y) - 8 \sin (x) \sin (y) = 0$

Cộng $8 \sin (x) \sin (y)$ cho cả hai vế của phương trình.

$8 y' \cos (x) \cos (y) = 8 \sin (x) \sin (y)$

Chia mỗi số hạng trong $8 y' \cos (x) \cos (y) = 8 \sin (x) \sin (y)$ cho $8 \cos (x) \cos (y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia mỗi số hạng trong $8 y' \cos (x) \cos (y) = 8 \sin (x) \sin (y)$ cho $8 \cos (x) \cos (y)$ .

$\frac{8 y' \cos (x) \cos (y)}{8 \cos (x) \cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 y' \cos (x) \cos (y)}{8 \cos (x) \cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \cos (x) \cos (y)}{\cos (x) \cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Triệt tiêu thừa số chung $\cos (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{8 \sin (x) \sin (y)}{8 \cos (x) \cos (y)}$

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{\sin (x) \sin (y)}{\cos (x) \cos (y)}$

Tách các phân số.

$y' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$y' = \frac{\sin (y)}{\cos (y)} \tan (x)$

Quy đổi từ $\frac{\sin (y)}{\cos (y)}$ sang $\tan (y)$ .

$y' = \tan (y) \tan (x)$

Step 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \tan (y) \tan (x)$