Giải tích Ví dụ

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Step 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} - 4 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{3}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Nhân $3$ với $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x^{3} - 12 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Tính $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $4 x^{3}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Nhân $3$ với $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Tính $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Vì $- 12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 12 x^{2}$ đối với $x$ là $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Nhân $2$ với $- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ sau đó giải phương trình $12 x^{2} - 24 x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt đạo hàm bậc hai bằng $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Đưa $12 x$ ra ngoài $12 x^{2} - 24 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $12 x$ ra ngoài $12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Đưa $12 x$ ra ngoài $- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Đưa $12 x$ ra ngoài $12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Đặt $x - 2$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 2$ bằng với $0$ .

$x - 2 = 0$

Cộng $2$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 2$

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $12 x (x - 2) = 0$ đúng.

$x = 0, 2$

Step 2

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Step 3

Tạo các khoảng quanh giá trị $x$ có đạo hàm bậc hai bằng không hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Step 4

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(- \infty, 0)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

Nhân $12$ với $4$ .

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

Nhân $- 24$ với $- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48$

Cộng $48$ và $48$ .

$f'' (- 2) = 96$

Câu trả lời cuối cùng là $96$ .

$96$

Đồ thị lõm trong khoảng $(- \infty, 0)$ vì $f'' (- 2)$ dương.

Lõm trên $(- \infty, 0)$ vì $f'' (x)$ dương

Step 5

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(0, 2)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $1$ trong biểu thức.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Nhân $12$ với $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Nhân $- 24$ với $1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Trừ $24$ khỏi $12$ .

$f'' (1) = - 12$

Câu trả lời cuối cùng là $- 12$ .

$- 12$

Đồ thị lồi trên khoảng $(0, 2)$ vì $f'' (1)$ âm.

Lồi trên $(0, 2)$ vì $f'' (x)$ âm

Step 6

Thay bất kỳ số nào từ khoảng $(2, \infty)$ vào đạo hàm bậc hai và tính để xác định độ lõm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $4$ trong biểu thức.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

Nhân $12$ với $16$ .

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

Nhân $- 24$ với $4$ .

$f'' (4) = 192 - 96$

Trừ $96$ khỏi $192$ .

$f'' (4) = 96$

Câu trả lời cuối cùng là $96$ .

$96$

Đồ thị lõm trong khoảng $(2, \infty)$ vì $f'' (4)$ dương.

Lõm trên $(2, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Step 7

Đồ thị lồi khi đạo hàm bậc hai âm và lõm khi đạo hàm bậc hai dương.

Lõm trên $(- \infty, 0)$ vì $f'' (x)$ dương

Lồi trên $(0, 2)$ vì $f'' (x)$ âm

Lõm trên $(2, \infty)$ vì $f'' (x)$ dương

Step 8