Đại số Ví dụ

$f (x) = x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$

Step 1

Nếu một hàm đa thức có các hệ số là số nguyên, thì mọi điểm zero hữu tỉ sẽ có dạng $\frac{p}{q}$ trong đó $p$ là một thừa số của hằng số và $q$ là một thừa số của hệ số cao nhất.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1$

Step 2

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

Step 3

Thay từng nghiệm có thể có vào đa thức để tìm các nghiệm thực. Rút gọn để kiểm tra xem giá trị có phải là $0$ , có nghĩa là nó là một nghiệm.

${(1)}^{3} + 11 {(1)}^{2} + 23 (1) - 35$

Step 4

Rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $x = 1$ là một căn của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 11 {(1)}^{2} + 23 (1) - 35$

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$1 + 11 \cdot 1 + 23 (1) - 35$

Nhân $11$ với $1$ .

$1 + 11 + 23 (1) - 35$

Nhân $23$ với $1$ .

$1 + 11 + 23 - 35$

Rút gọn bằng cách cộng và trừ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $1$ và $11$ .

$12 + 23 - 35$

Cộng $12$ và $23$ .

$35 - 35$

Trừ $35$ khỏi $35$ .

$0$

Step 5

Vì $1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 1$ để tìm đa thức thương. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35}{x - 1}$

Step 6

Tiếp theo, tìm các nghiệm của đa thức còn lại. Bậc của đa thức đã bị giảm xuống $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt các số đại diện cho số chia và số bị chia vào cấu hình giống như một phép chia.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$

Số đầu tiên trong số bị chia $(1)$ được đặt vào vị trí đầu tiên của phần kết quả (bên dưới đường thẳng ngang).

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$

	$1$

Nhân số mới nhất trong kết quả $(1)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(1)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(11)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$
	$1$

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$
	$1$	$12$

Nhân số mới nhất trong kết quả $(12)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(12)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(23)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$
	$1$	$12$

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$
	$1$	$12$	$35$

Nhân số mới nhất trong kết quả $(35)$ với số chia $(1)$ và đặt kết quả của $(35)$ dưới số hạng tiếp theo trong số bị chia $(- 35)$ .

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$	$35$
	$1$	$12$	$35$

Cộng tích của phép nhân và số từ số bị chia sau đó đặt kết quả vào vị trí tiếp theo ở dòng kết quả.

$1$	$1$	$11$	$23$	$- 35$
		$1$	$12$	$35$
	$1$	$12$	$35$	$0$

Tất cả các số trừ số cuối cùng trở thành hệ số của đa thức thương. Giá trị cuối cùng trong dòng kết quả là số dư.

$1 x^{2} + 12 x + 35$

Rút gọn đa thức thương.

$x^{2} + 12 x + 35$

Step 7

Phân tích $x^{2} + 12 x + 35$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $35$ và tổng của chúng là $12$ .

$5, 7$

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 1) + (x + 5) (x + 7)$

$(x - 1) (x + 5) (x + 7)$

Step 8

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Phân tích $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ thành thừa số bằng phương pháp kiểm tra nghiệm hữu tỉ.

Nhấp để xem thêm các bước...

$p = \pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7 q = \pm 1$

Tìm tất cả các tổ hợp của $\pm \frac{p}{q}$ . Đây là những nghiệm có thể có của các hàm số đa thức.

$\pm 1, \pm 35, \pm 5, \pm 7$

Thay $1$ và rút gọn biểu thức. Trong trường hợp này, biểu thức bằng $0$ vì vậy $1$ là một nghiệm của đa thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay $1$ vào đa thức.

$1^{3} + 11 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 35$

Nâng $1$ lên lũy thừa $3$ .

$1 + 11 \cdot 1^{2} + 23 \cdot 1 - 35$

Nâng $1$ lên lũy thừa $2$ .

$1 + 11 \cdot 1 + 23 \cdot 1 - 35$

Nhân $11$ với $1$ .

$1 + 11 + 23 \cdot 1 - 35$

Cộng $1$ và $11$ .

$12 + 23 \cdot 1 - 35$

Nhân $23$ với $1$ .

$12 + 23 - 35$

Cộng $12$ và $23$ .

$35 - 35$

Trừ $35$ khỏi $35$ .

$0$

Vì $1$ là một nghiệm đã biết, chia đa thức cho $x - 1$ để tìm thương đa thức. Đa thức này sau đó có thể được sử dụng để tìm các nghiệm còn lại.

$\frac{x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35}{x - 1}$

Chia $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ cho $x - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$11 x^{2}$

$23 x$

$35$

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $12 x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$12 x$

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $12 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x^{2}$	+	$12 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $35 x$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							+	$35 x$	-	$35$

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $35 x - 35$

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x^{2}$	+	$12 x$	+	$35$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$23 x$	-	$35$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	+	$23 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$35 x$	-	$35$
							-	$35 x$	+	$35$
										$0$

Vì số dư là $0$ , nên câu trả lời cuối cùng là thương.

$x^{2} + 12 x + 35$

Viết $x^{3} + 11 x^{2} + 23 x - 35$ ở dạng một tập hợp các thừa số.

$(x - 1) (x^{2} + 12 x + 35) = 0$

Phân tích $x^{2} + 12 x + 35$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Phân tích $x^{2} + 12 x + 35$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

$5, 7$

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$(x - 1) ((x + 5) (x + 7)) = 0$

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$(x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$

Step 9

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Step 10

Đặt $x - 1$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x - 1$ bằng với $0$ .

$x - 1 = 0$

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 1$

Step 11

Đặt $x + 5$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x + 5$ bằng với $0$ .

$x + 5 = 0$

Trừ $5$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 5$

Step 12

Đặt $x + 7$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt $x + 7$ bằng với $0$ .

$x + 7 = 0$

Trừ $7$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 7$

Step 13

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(x - 1) (x + 5) (x + 7) = 0$ đúng.

$x = 1, - 5, - 7$

Step 14