Đại số Ví dụ

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 \\ 0 & - 2 & - 1 \\ - 2 & - 3 & 0 \end{array}]$

Step 1

Lập một ma trận được chia thành hai phần có kích thước bằng nhau. ở phía bên trái, điền vào các phần tử của ma trận gốc. ở phía bên phải, điền vào các phần tử của ma trận đơn vị. Để tìm ma trận nghịch đảo, sử dụng các phép biến đổi dòng để chuyển đổi phía bên trái thành ma trận đơn vị. Sau khi hoàn thành, nghịch đảo của ma trận gốc sẽ ở phía bên phải của ma trận kép.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 2 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Step 2

Đổi hàng $3$ và hàng $2$ với nhau để sắp xếp các số 0 vào vị trí.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & - 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{3} \leftrightarrow R$

Step 3

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ trên $R_{2}$ (hàng $2$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{2}$ (hàng $2$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} & 2 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Thay thế $R_{2}$ (hàng $2$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ (2) \cdot (1) - 2 & (2) \cdot (- 1) - 3 & (2) \cdot (- 1) + 0 & (2) \cdot (1) + 0 & (2) \cdot (0) + 0 & (2) \cdot (0) + 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

Rút gọn $R_{2}$ (hàng $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 5 & - 2 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 4

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ trên $R_{2}$ (hàng $2$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{2}$ (hàng $2$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} & - \frac{1}{5} R_{2} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Thay thế $R_{2}$ (hàng $2$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 5) & (- \frac{1}{5}) \cdot (- 2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (2) & (- \frac{1}{5}) \cdot (0) & (- \frac{1}{5}) \cdot (1) \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{1}{5} R_{2}$

Rút gọn $R_{2}$ (hàng $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 5

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ trên $R_{1}$ (hàng $1$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{1}$ (hàng $1$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $0$ .

$[\begin{array}{c} R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} & R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = R_{2} + R_{1}$

Thay thế $R_{1}$ (hàng $1$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{1} = R_{2} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 - 1 & \frac{2}{5} - 1 & - \frac{2}{5} + 1 & 0 + 0 & - \frac{1}{5} + 0 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = R_{2} + R_{1}$

Rút gọn $R_{1}$ (hàng $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & - 2 & - 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 6

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ trên $R_{3}$ (hàng $3$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{3}$ (hàng $3$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} & 2 \cdot R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$

Thay thế $R_{3}$ (hàng $3$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ (2) \cdot (0) + 0 & (2) \cdot (1) - 2 & (2) \cdot (\frac{2}{5}) - 1 & (2) \cdot (- \frac{2}{5}) + 0 & (2) \cdot (0) + 1 & (2) \cdot (- \frac{1}{5}) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = 2 \cdot R_{2} + R_{3}$

Rút gọn $R_{3}$ (hàng $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & - \frac{1}{5} & - \frac{4}{5} & 1 & - \frac{2}{5} \end{array}]$

Step 7

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ trên $R_{3}$ (hàng $3$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{3}$ (hàng $3$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} & - 5 \cdot R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$

Thay thế $R_{3}$ (hàng $3$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ (- 5) \cdot (0) & (- 5) \cdot (0) & (- 5) \cdot (- \frac{1}{5}) & (- 5) \cdot (- \frac{4}{5}) & (- 5) \cdot (1) & (- 5) \cdot (- \frac{2}{5}) \end{array}]$

$R_{3} = - 5 \cdot R_{3}$

Rút gọn $R_{3}$ (hàng $3$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{3}{5} & \frac{3}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 8

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ trên $R_{1}$ (hàng $1$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{1}$ (hàng $1$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} & \frac{3}{5} R_{3} + R_{1} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

Thay thế $R_{1}$ (hàng $1$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (\frac{3}{5}) \cdot (0) + 1 & (\frac{3}{5}) \cdot (0) + 0 & (\frac{3}{5}) \cdot (1) - \frac{3}{5} & (\frac{3}{5}) \cdot (4) + \frac{3}{5} & (\frac{3}{5}) \cdot (- 5) + 0 & (\frac{3}{5}) \cdot (2) - \frac{1}{5} \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{3}{5} R_{3} + R_{1}$

Rút gọn $R_{1}$ (hàng $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{2}{5} & - \frac{2}{5} & 0 & - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 9

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ trên $R_{2}$ (hàng $2$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{2}$ (hàng $2$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} & - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

Thay thế $R_{2}$ (hàng $2$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{2}{5}) \cdot (1) + \frac{2}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (4) - \frac{2}{5} & (- \frac{2}{5}) \cdot (- 5) + 0 & (- \frac{2}{5}) \cdot (2) - \frac{1}{5} \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{2}{5} R_{3} + R_{2}$

Rút gọn $R_{2}$ (hàng $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 3 & - 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 2 & 2 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 4 & - 5 & 2 \end{array}]$

Step 10

Phía bên phải của ma trận kép bây giờ là nghịch đảo của ma trận gốc.

$[\begin{array}{c} 3 & - 3 & 1 \\ - 2 & 2 & - 1 \\ 4 & - 5 & 2 \end{array}]$