Đại số Ví dụ

$| x |$

Step 1

Đạo hàm của $| x |$ đối với $x$ là $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Nhân $| x |$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}}$

Đạo hàm của $| x |$ đối với $x$ là $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Kết hợp $\frac{x}{| x |}$ và $x$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại các số hạng.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + | x |}{{| x |}^{2}}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Để viết $| x |$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{| x |} + \frac{| x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x | | x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $| x | | x |$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để nhân các giá trị tuyệt đối, nhân các số hạng bên trong mỗi giá trị tuyệt đối.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x \cdot x |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{1 + 1} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Cộng $1$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + | x^{2} |}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Loại bỏ các số hạng không âm từ giá trị tuyệt đối.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Cộng $- x^{2}$ và $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Chia $0$ cho $| x |$ .

$f'' (x) = \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$f'' (x) = \frac{0}{x^{2}}$

Chia $0$ cho $x^{2}$ .

$f'' (x) = 0$

Step 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\frac{x}{| x |} = 0$

Step 4

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đạo hàm của $| x |$ đối với $x$ là $\frac{x}{| x |}$ .

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

Đạo hàm bậc nhất của $f (x)$ đối với $x$ là $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{x}{| x |}$

Step 5

Cho đạo hàm bằng $0$ rồi giải phương trình $\frac{x}{| x |} = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Cho đạo hàm bằng $0$ .

$\frac{x}{| x |} = 0$

Cho tử bằng không.

$x = 0$

Loại bỏ đáp án không làm cho $\frac{x}{| x |} = 0$ đúng.

$Không có đáp án$

Step 6

Tìm các giá trị có đạo hàm tại đó không xác định.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đặt mẫu số trong $\frac{x}{| x |}$ bằng $0$ để tìm nơi biểu thức không xác định.

$| x | = 0$

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Cộng hoặc trừ $0$ là $0$ .

$x = 0$

Step 7

Các điểm cực trị cần tính.

$x = 0$

Step 8

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$0$

Step 9

Vì có ít nhất một điểm với $0$ hoặc đạo hàm bậc hai không xác định, nên ta áp dụng phép kiểm định đạo hàm bậc nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Chia $(- \infty, \infty)$ thành các khoảng riêng biệt xung quanh các giá trị $x$ và làm cho đạo hàm bậc nhất $0$ hoặc không xác định.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $- 2$ , từ khoảng $(- \infty, 0)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{x}{| x |}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $- 2$ trong biểu thức.

$f' (- 2) = \frac{- 2}{| - 2 |}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $- 2$ và $0$ là $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2}{2}$

Chia $- 2$ cho $2$ .

$f' (- 2) = - 1$

Câu trả lời cuối cùng là $- 1$ .

$- 1$

Thay bất kỳ số nào, chẳng hạn như $2$ , từ khoảng $(0, \infty)$ trong đạo hàm đầu tiên $\frac{x}{| x |}$ để kiểm tra xem kết quả là âm hay dương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế biến $x$ bằng $2$ trong biểu thức.

$f' (2) = \frac{2}{| 2 |}$

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $2$ là $2$ .

$f' (2) = \frac{2}{2}$

Chia $2$ cho $2$ .

$f' (2) = 1$

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$1$

Vì đạo hàm bậc nhất đổi dấu từ âm sang dương xung quanh $x = 0$ , nên $x = 0$ là một cực tiểu địa phương.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Step 10