Đại số Ví dụ

$\frac{x}{x^{2} - 1}$

Step 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Nhân $x^{2} - 1$ với $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - x (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Cộng $1$ và $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Trừ $2 x^{2}$ khỏi $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 1}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Step 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 1) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân các số mũ trong ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 1) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Nhân $2$ với $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} - 1) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Cộng $- 2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} - 1)}^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = x^{2} - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 1) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $2 x$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (2 x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 1) (2 \cdot ((x^{2} - 1) x))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) ((x^{2} - 1) x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} - 1)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Viết lại ${(x^{2} - 1)}^{2}$ ở dạng $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Khai triển $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Cộng $2$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Viết lại $- 1 x^{2}$ ở dạng $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Trừ $x^{2}$ khỏi $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 2 x^{2}) - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 4 x^{2} - 2 \cdot 1) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $- 2$ với $1$ .

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} + 4 x^{2} - 2) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x + 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $x^{4}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $x$ với $x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} + 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Cộng $1$ và $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{2} x - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{1 + 2} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 1) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} + 4) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} + 4) (x^{2} x - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} + 4) (x^{2 + 1} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Cộng $2$ và $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} + 4) (x^{3} - 1 x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + (4 x^{2} + 4) (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Khai triển $(4 x^{2} + 4) (x^{3} - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} (x^{3} - x) + 4 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- x) + 4 (x^{3} - x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- x) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $x^{2}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- x) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- x) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Cộng $3$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- x) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 1 x^{2} x) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $x^{2}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 1 (x \cdot x^{2})) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 1 x^{1 + 2}) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Cộng $1$ và $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (- 1 x^{3}) + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $4$ với $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} + 4 (- x)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Nhân $- 1$ với $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x^{3} + 4 x^{3} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Cộng $- 4 x^{3}$ và $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} + 0 - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Cộng $4 x^{5}$ và $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x + 4 x^{5} - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Cộng $- 2 x^{5}$ và $4 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 4 x^{3} - 2 x - 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Trừ $4 x$ khỏi $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} + 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{5} + 4 x^{3} - 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 4 x^{3} - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Đưa $2 x$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (2 x^{2}) - 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Đưa $2 x$ ra ngoài $- 6 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (x^{4}) + 2 x (2 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 2 x (- 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Đưa $2 x$ ra ngoài $2 x (x^{4} + 2 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Viết lại $x^{4}$ ở dạng ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Giả sử $u = x^{2}$ . Thay $u$ cho tất cả các lần xuất hiện của $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} + 2 u - 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Phân tích $u^{2} + 2 u - 3$ thành thừa số bằng phương pháp AC.

Nhấp để xem thêm các bước...

Xét dạng $x^{2} + b x + c$ . Tìm một cặp số nguyên mà tích số của chúng là $c$ và tổng của chúng là $b$ . Trong trường hợp này, tích số của chúng là $- 3$ và tổng của chúng là $2$ .

$- 1, 3$

Viết dạng đã được phân tích thành thừa số bằng các số nguyên này.

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 1) (u + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 1) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x ((x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{4}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{4}}$

Áp dụng quy tắc tích số cho $(x + 1) (x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Triệt tiêu thừa số chung của $x + 1$ và ${(x + 1)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $x + 1$ ra ngoài $2 x (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $x + 1$ ra ngoài ${(x + 1)}^{4} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{(x + 1) ((2 x (x - 1)) (x^{2} + 3))}{(x + 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4})}$

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{(2 x (x - 1)) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Triệt tiêu thừa số chung của $x - 1$ và ${(x - 1)}^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $x - 1$ ra ngoài $(2 x (x - 1)) (x^{2} + 3)$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((2 x) (x^{2} + 3))}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}}$

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $x - 1$ ra ngoài ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Triệt tiêu thừa số chung.

$f'' (x) = \frac{(x - 1) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(x - 1) ({(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3})}$

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$