Đại số Ví dụ

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 1

Rút gọn từng số hạng trong phương trình để đặt vế phải bằng $1$ . Dạng chính tắc của hình elip hoặc hyperbol yêu cầu phía vế phải của phương trình bằng $1$ .

$\frac{y^{2}}{25} - \frac{{(x - 6)}^{2}}{144} = 1$

Step 2

Đây là dạng của một hyperbol. Sử dụng dạng này để xác định các giá trị được sử dụng để tìm các đỉnh và các tiệm cận của hyperbol.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Step 3

Tương ứng các giá trị trong hyperbol này với dạng chính tắc. Biến $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ, $a$ .

$a = 5$

$b = 12$

$k = 0$

$h = 6$

Step 4

Tâm của một hyperbol có dạng $(h, k)$ . Thay vào các giá trị của $h$ và $k$ .

$(6, 0)$

Step 5

Tìm $c$ , khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm khoảng cách từ tâm đến tiêu điểm của đường hyperbol bằng công thức sau.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$\sqrt{25 + 144}$

Cộng $25$ và $144$ .

$\sqrt{169}$

Viết lại $169$ ở dạng $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$13$

Step 6

Tìm các đỉnh.

Nhấp để xem thêm các bước...

Có thể tìm đỉnh đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $a$ vào $k$ .

$(h, k + a)$

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(6, 5)$

Có thể tìm đỉnh thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $a$ từ $k$ .

$(h, k - a)$

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $a$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(6, - 5)$

Các đỉnh của một hyperbol có dạng $(h, k \pm a)$ . Hyperbol có hai đỉnh.

$(6, 5), (6, - 5)$

Step 7

Tìm tiêu điểm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Có thể tìm tiêu điểm đầu tiên của một hyperbol bằng cách cộng $c$ vào $k$ .

$(h, k + c)$

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(6, 13)$

Có thể tìm tiêu điểm thứ hai của một hyperbol bằng cách trừ $c$ từ $k$ .

$(h, k - c)$

Thay các giá trị đã biết của $h$ , $c$ , và $k$ vào công thức và rút gọn.

$(6, - 13)$

Tiêu điểm của một hyperbol có dạng $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Hyperbol có hai tiêu điểm.

$(6, 13), (6, - 13)$

Step 8

Tìm tâm sai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm tâm sai bằng công thức sau.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Thay giá trị của $a$ và $b$ vào công thức.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(12)}^{2}}}{5}$

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $5$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 12^{2}}}{5}$

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 144}}{5}$

Cộng $25$ và $144$ .

$\frac{\sqrt{169}}{5}$

Viết lại $169$ ở dạng $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{5}$

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$\frac{13}{5}$

Step 9

Tìm tham số tiêu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Tìm giá trị của thông số tiêu cự hyperbol bằng cách sử dụng công thức sau.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Thay các giá trị của $b$ và $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ vào công thức.

$\frac{12^{2}}{13}$

Nâng $12$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{144}{13}$

Step 10

Các tiệm cận có dạng $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ vì hyperbol quay mặt lõm lên trên và xuống dưới.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Step 11

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ nhất.

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Rút gọn $\frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $\frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ và $0$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Nhân $- 1$ với $6$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Kết hợp $\frac{5}{12}$ và $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot - 6$

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 (2)} \cdot - 6$

Đưa $6$ ra ngoài $- 6$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2} \cdot - 1$

Kết hợp $\frac{5}{2}$ và $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 \cdot - 1}{2}$

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $5$ với $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{- 5}{2}$

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$

Step 12

Rút gọn để tìm tiệm cận thứ hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$

Rút gọn $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6)) + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Cộng $- \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$ và $0$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (6))$

Nhân $- 1$ với $6$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - 6)$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Kết hợp $x$ và $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 6$

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{5}{12}$ vào tử số.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot - 6$

Đưa $6$ ra ngoài $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 (2)} \cdot - 6$

Đưa $6$ ra ngoài $- 6$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{6 \cdot 2} \cdot (6 \cdot - 1)$

Viết lại biểu thức.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{2} \cdot - 1$

Kết hợp $\frac{- 5}{2}$ và $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5 \cdot - 1}{2}$

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{2}$

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 13

Hyperbol này có hai tiệm cận.

$y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 14

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một hyperbol.

Tâm: $(6, 0)$

Các đỉnh: $(6, 5), (6, - 5)$

Tiêu điểm: $(6, 13), (6, - 13)$

Tâm sai: $\frac{13}{5}$

Tham số tiêu: $\frac{144}{13}$

Các đường tiệm cận: $y = \frac{5 x}{12} - \frac{5}{2}$ , $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{2}$

Step 15