Đại số Ví dụ

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Step 1

Đặt cho ma trận tên $A$ để rút gọn các mô tả xuyên suốt bài tập.

$A = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}]$

Step 2

Lập công thức để tìm phương trình đặc trưng $p (λ)$ .

$p (λ) = định thức (A + (- λ I_{2}))$

Step 3

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$p (λ) = định thức ([\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Step 4

Trừ trị riêng nhân với ma trận đơn vị từ ma trận ban đầu.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- λ$ với mỗi phần tử của ma trận.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Sắp xếp lại $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Sắp xếp lại $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Sắp xếp lại $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận $[\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn $2 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Rút gọn $3 + 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$

Step 5

Tính định thức của ma trận $[\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Đây là cả hai ký hiệu hợp lệ cho định thức của ma trận.

$định thức [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array}] = | \begin{array}{c} 4 - λ & 2 \\ 3 & 1 - λ \end{array} |$

Có thể tìm được định thức của một $2 \times 2$ ma trận bằng công thức $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Rút gọn định thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Khai triển $(4 - λ) (1 - λ)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ (1 - λ) - 3 \cdot 2$

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$p (λ) = 4 \cdot 1 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $4$ với $1$ .

$p (λ) = 4 + 4 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Nhân $- 1$ với $4$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Nhân $- 1$ với $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2$

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 λ \cdot λ) - 3 \cdot 2$

Nhân $λ$ với $λ$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Di chuyển $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 (λ \cdot λ)) - 3 \cdot 2$

Nhân $λ$ với $λ$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - 3 \cdot 2$

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2$

Nhân $λ^{2}$ với $1$ .

$p (λ) = 4 - 4 λ - λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Trừ $λ$ khỏi $- 4 λ$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2$

Nhân $- 3$ với $2$ .

$p (λ) = 4 - 5 λ + λ^{2} - 6$

Trừ $6$ khỏi $4$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} - 2$

Step 6

Sắp xếp lại đa thức.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 2$

Step 7

Đặt đa thức đặc trưng bằng $0$ để tìm các trị riêng $λ$ .

$λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$

Step 8

Tìm các nghiệm của $λ^{2} - 5 λ - 2 = 0$ bằng cách giải tìm $λ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 5$ , và $c = - 2$ vào công thức bậc hai và giải tìm $λ$ .

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Cộng $25$ và $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Nhân $2$ với $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Cộng $25$ và $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Nhân $2$ với $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- 4$ với $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Nhân $- 4$ với $- 2$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2 \cdot 1}$

Cộng $25$ và $8$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2 \cdot 1}$

Nhân $2$ với $1$ .

$λ = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}, \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$

Step 9

Vectơ riêng cho $λ = \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ bằng không gian không hạch của ma trận trừ đi trị riêng nhân với ma trận đơn vị.

$ε_{A} (\frac{5 + \sqrt{33}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Step 10

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 + \sqrt{33}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Step 11

Rút gọn biểu thức ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Sắp xếp lại $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Sắp xếp lại $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Sắp xếp lại $- \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận $[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn $4 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Rút gọn $2 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Rút gọn $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Rút gọn $1 - \frac{5 + \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Step 12

Tìm dạng hàng bậc thang rút gọn của ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ trên $R_{1}$ (hàng $1$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{1}$ (hàng $1$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1} & - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1} \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Thay thế $R_{1}$ (hàng $1$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3 + \sqrt{33}}{12}) \cdot (\frac{3 - \sqrt{33}}{2}) & (- \frac{3 + \sqrt{33}}{12}) \cdot (2) \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 + \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Rút gọn $R_{1}$ (hàng $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 3 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ trên $R_{2}$ (hàng $2$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{2}$ (hàng $2$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{2} & - 3 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Thay thế $R_{2}$ (hàng $2$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3 + \sqrt{33}}{6}) - \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Rút gọn $R_{2}$ (hàng $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 13

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x_{1} - \frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6} = 0$

Step 14

Biểu thức này là tập hợp đáp án cho hệ phương trình.

${(\frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 15

Phân tích một nghiệm vectơ bằng cách sắp xếp lại từng phương trình được thể hiện ở dạng bậc thang của ma trận bổ sung và bằng cách giải tìm biến phụ thuộc trong mỗi hàng sẽ cho ta đẳng thức vectơ.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{(3 + \sqrt{33}) x_{2}}{6} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 16

Biểu thị một vectơ ở dạng một tổ hợp tuyến tính của cột vectơ bằng cách sử dụng tính chất phép cộng của cột vectơ.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 17

Không gian không hạch của tập hợp là tập hợp của các vectơ được tạo ra từ các biến số tự do của hệ phương trình.

${[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 18

Vectơ riêng cho $λ = \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ bằng không gian không hạch của ma trận trừ đi trị riêng nhân với ma trận đơn vị.

$ε_{A} (\frac{5 - \sqrt{33}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

Step 19

Thay các giá trị đã biết vào công thức.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] - \frac{5 - \sqrt{33}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

Step 20

Rút gọn biểu thức ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Nhân $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ với mỗi phần tử của ma trận.

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Rút gọn từng phần tử trong ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Sắp xếp lại $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Sắp xếp lại $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Sắp xếp lại $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Sắp xếp lại $- \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 4 & 2 \\ 3 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Cộng các phần tử tương ứng với nhau.

$[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Rút gọn mỗi phần tử của ma trận $[\begin{array}{c} 4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Rút gọn $4 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 + 0 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Rút gọn $2 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 + 0 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Rút gọn $3 + 0$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & 1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Rút gọn $1 - \frac{5 - \sqrt{33}}{2}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{2} & 2 \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Step 21

Tìm dạng hàng bậc thang rút gọn của ma trận.

Nhấp để xem thêm các bước...

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ trên $R_{1}$ (hàng $1$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{1}$ (hàng $1$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1} & - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1} \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Thay thế $R_{1}$ (hàng $1$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} (- \frac{3 - \sqrt{33}}{12}) \cdot (\frac{3 + \sqrt{33}}{2}) & (- \frac{3 - \sqrt{33}}{12}) \cdot (2) \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{3 - \sqrt{33}}{12} R_{1}$

Rút gọn $R_{1}$ (hàng $1$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 3 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

Thực hiện phép biến đổi hàng $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ trên $R_{2}$ (hàng $2$ ) để quy đổi một số thành phần trong hàng thành $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Thay thế $R_{2}$ (hàng $2$ ) bằng phép biến đổi hàng $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ để chuyển đổi một số phần tử trong hàng thành giá trị mong muốn $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ - 3 \cdot R_{1} + R_{2} & - 3 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Thay thế $R_{2}$ (hàng $2$ ) bằng các giá trị thực tế của các phần tử cho phép biến đổi hàng $R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ (- 3) \cdot (1) + 3 & (- 3) \cdot (- \frac{3 - \sqrt{33}}{6}) - \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 3 \cdot R_{1} + R_{2}$

Rút gọn $R_{2}$ (hàng $2$ ).

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 22

Sử dụng ma trận tìm được để kết luận các đáp án cuối cùng cho hệ phương trình.

$x_{1} - \frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6} = 0$

Step 23

Biểu thức này là tập hợp đáp án cho hệ phương trình.

${(\frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 24

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{(3 - \sqrt{33}) x_{2}}{6} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 25

Biểu thị một vectơ ở dạng một tổ hợp tuyến tính của cột vectơ bằng cách sử dụng tính chất phép cộng của cột vectơ.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 26

Không gian không hạch của tập hợp là tập hợp của các vectơ được tạo ra từ các biến số tự do của hệ phương trình.

${[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 27

Không gian riêng của $A$ là phần hợp của không gian vectơ cho mỗi trị riêng.

${[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{33}}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 28