Cálculo Exemplos

$y = 5 - x^{2}$ , $[- 3, 2]$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$5 - x^{2} = 0$

Etapa 1.2

Resolva $5 - x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 5$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 5$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Divida $- 5$ por $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Etapa 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Etapa 1.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{5}$

Etapa 1.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{5}$

Etapa 1.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 1.3

Substitua $\sqrt{5}$ por $x$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

$(\sqrt{5}, 0)$

$(- \sqrt{5}, 0)$

Etapa 2

Reordene $5$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 d x - \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - x^{2} + 5 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $- \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} 0 - (- x^{2} + 5) d x$

Etapa 4.2

Subtraia $- x^{2} + 5$ de $0$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - (- x^{2} + 5) d x$

Etapa 4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 1 \cdot 5 d x$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} - 5 d x$

Etapa 4.5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{- \sqrt{5}} x^{2} d x + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + \int_{- 3}^{- \sqrt{5}} - 5 d x$

Etapa 4.7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}} + - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Etapa 4.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Combine $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ e $- 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} - 5 x]_{- 3}^{- \sqrt{5}}$

Etapa 4.8.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3} - 5 x$ em $- \sqrt{5}$ e em $- 3$ .

$(\frac{1}{3} {(- \sqrt{5})}^{3} - 5 (- \sqrt{5})) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.2.1

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{5}$ .

$\frac{1}{3} {(- (\sqrt{5}))}^{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.2

Aplique a regra do produto a $- (\sqrt{5})$ .

$\frac{1}{3} ({(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} (- {\sqrt{5}}^{3}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.4

Reescreva ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{5^{3}}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.5

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{3} (- \sqrt{125}) - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sqrt{125}$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} - 5 (- \sqrt{5}) - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.7

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} {(- 3)}^{3} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.8

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{1}{3} \cdot - 27 - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.9

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 27}{3} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.10

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.2.10.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.2.2.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 (1)} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (\frac{- 9}{1} - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.10.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 - 5 \cdot - 3)$

Etapa 4.8.2.2.11

Multiplique $- 5$ por $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - (- 9 + 15)$

Etapa 4.8.2.2.12

Some $- 9$ e $15$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 1 \cdot 6$

Etapa 4.8.2.2.13

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$- \frac{\sqrt{125}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Etapa 4.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.1

Reescreva $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.3.1.1

Fatore $25$ de $125$ .

$- \frac{\sqrt{25 (5)}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Etapa 4.8.3.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Etapa 4.8.3.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} - 6$

Etapa 4.8.3.3

Para escrever $5 \sqrt{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3} - 6$

Etapa 4.8.3.4

Combine $5 \sqrt{5}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Etapa 4.8.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3} - 6$

Etapa 4.8.3.6

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{- 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3} - 6$

Etapa 4.8.3.7

Some $- 5 \sqrt{5}$ e $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6$

Etapa 5

$A r e a = \int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x - \int_{- \sqrt{5}}^{2} 0 d x$

Etapa 6

Integre para encontrar a área entre $- \sqrt{5}$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 - (0) d x$

Etapa 6.2

Subtraia $0$ de $- x^{2} + 5$ .

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} + 5 d x$

Etapa 6.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- \sqrt{5}}^{2} - x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Etapa 6.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- \sqrt{5}}^{2} x^{2} d x + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Etapa 6.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Etapa 6.6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + \int_{- \sqrt{5}}^{2} 5 d x$

Etapa 6.7

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{5}}^{2}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Etapa 6.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $- \sqrt{5}$ .

$- ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 x]_{- \sqrt{5}}^{2}$

Etapa 6.8.1.2

Avalie $5 x$ em $2$ e em $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.1.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- \sqrt{5})}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3.2

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{5}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- (\sqrt{5}))}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3.3

Aplique a regra do produto a $- (\sqrt{5})$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3.4

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- {\sqrt{5}}^{3}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3.5

Reescreva ${\sqrt{5}}^{3}$ como $\sqrt{5^{3}}$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{5^{3}}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3.6

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$- (\frac{8}{3} - \frac{- \sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (\frac{8}{3} - - \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\frac{8}{3} + 1 \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3.9

Multiplique $\frac{\sqrt{125}}{3}$ por $1$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 5 \cdot 2 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3.10

Multiplique $5$ por $2$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 - 5 (- \sqrt{5})$

Etapa 6.8.1.3.11

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{125}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Etapa 6.8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1

Reescreva $125$ como $5^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.2.1.1

Fatore $25$ de $125$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{25 (5)}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Etapa 6.8.2.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$- (\frac{8}{3} + \frac{\sqrt{5^{2} \cdot 5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Etapa 6.8.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$- (\frac{8}{3} + \frac{5 \sqrt{5}}{3}) + 10 + 5 \sqrt{5}$

Etapa 6.8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{8}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 10 + 5 \sqrt{5}$

Etapa 6.8.3.2

Para escrever $10$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Etapa 6.8.3.3

Combine $10$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Etapa 6.8.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 8 + 10 \cdot 3}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Etapa 6.8.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.8.3.5.1

Multiplique $10$ por $3$ .

$\frac{- 8 + 30}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Etapa 6.8.3.5.2

Some $- 8$ e $30$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5}$

Etapa 6.8.3.6

Para escrever $5 \sqrt{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + 5 \sqrt{5} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 6.8.3.7

Combine $5 \sqrt{5}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{22}{3} - \frac{5 \sqrt{5}}{3} + \frac{5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Etapa 6.8.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{22}{3} + \frac{- 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Etapa 6.8.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 5 \sqrt{5} \cdot 3}{3}$

Etapa 6.8.3.10

Multiplique $3$ por $5$ .

$\frac{22 - 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}}{3}$

Etapa 6.8.3.11

Some $- 5 \sqrt{5}$ e $15 \sqrt{5}$ .

$\frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Etapa 7

Some as áreas $\frac{10 \sqrt{5}}{3} - 6 + \frac{22 + 10 \sqrt{5}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 6 + \frac{10 \sqrt{5} + 22 + 10 \sqrt{5}}{3}$

Etapa 7.2

Some $10 \sqrt{5}$ e $10 \sqrt{5}$ .

$- 6 + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Etapa 7.3

Para escrever $- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 6 \cdot \frac{3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Etapa 7.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Combine $- 6$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 6 \cdot 3}{3} + \frac{22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Etapa 7.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 6 \cdot 3 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$\frac{- 18 + 22 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Etapa 7.5.2

Some $- 18$ e $22$ .

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{4 + 20 \sqrt{5}}{3}$

Forma decimal:

$16.24045318 \dots$

Etapa 9