Cálculo Exemplos

$(2 - 2 x) e^{x}$

Etapa 1

Escreva $(2 - 2 x) e^{x}$ como uma função.

$f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 2 - 2 x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(2 - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [2 - 2 x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie.

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Etapa 2.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 2.1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 2.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} (- 2 \cdot 1)$

Etapa 2.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.3.6.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$(2 - 2 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 2$

Etapa 2.1.3.6.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$(2 - 2 x) e^{x} - 2 \cdot e^{x}$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Etapa 2.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.1.4.2.1

Subtraia $2 e^{x}$ de $2 e^{x}$ .

$- 2 x e^{x} + 0$

Etapa 2.1.4.2.2

Some $- 2 x e^{x}$ e $0$ .

$- 2 x e^{x}$

Etapa 2.1.4.3

Reordene os fatores de $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 e^{x} x$

Etapa 2.1.4.4

Reordene os fatores em $- 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = - 2 x e^{x}$

Etapa 2.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x e^{x}$ .

$- 2 x e^{x}$

Etapa 3

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x e^{x} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x e^{x} = 0$

Etapa 3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Etapa 3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 3.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 3.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 3.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 x e^{x} = 0$ verdadeiro.

$x = 0$

Etapa 4

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 5

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = - 2 x e^{x}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = (2 - 2 x) e^{x}$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = - 2 \cdot - 1 \cdot e^{- 1}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot e^{- 1}$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = 2 \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 6.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{2}{e}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Etapa 6.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $\frac{2}{e}$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, 0)$ .

Acréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = - 2 \cdot 1 \cdot e^{1}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f' (1) = - 2 e$

Etapa 7.2.2

A resposta final é $- 2 e$ .

$- 2 e$

Etapa 7.3

Em $x = 1$ , a derivada é $- 2 e$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \infty)$ .

Decréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, 0)$

Decréscimo em: $(0, \infty)$

Etapa 9