Cálculo Exemplos

$x^{2} \ln (3 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Combine $\frac{1}{3 x}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.2.1

Fatore $x$ de $3 x$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.4.1

Combine $3$ e $\frac{x}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.4.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 1.3.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.4.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Etapa 1.3.8

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x \ln (3 x) + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \ln (3 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (3 x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.8

Combine $\frac{1}{3 x}$ e $3$ .

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.9

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.2.9.1

Cancele o fator comum.

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.9.2

Reescreva a expressão.

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.10

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.11

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.11.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.11.2

Reescreva a expressão.

$2 (1 + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.12

Multiplique $\ln (3 x)$ por $1$ .

$2 (1 + \ln (3 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (3 x)) + 1$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (3 x) + 1$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 2 \ln (3 x) + 1$

Etapa 2.4.2.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (3 x) + 3$