Pré-cálculo Exemplos

$(3, 8)$ , $(9, 12)$

Etapa 1

Use a fórmula do produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

Etapa 2

Encontre o produto escalar.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

$a⃗ \cdot b⃗ = 3 \cdot 9 + 8 \cdot 12$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $3$ por $9$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 8 \cdot 12$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $8$ por $12$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 27 + 96$

Etapa 2.2.2

Some $27$ e $96$ .

$a⃗ \cdot b⃗ = 123$

Etapa 3

Encontre a magnitude de $a⃗$ .

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Etapa 3.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| a⃗ | = \sqrt{3^{2} + 8^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 8^{2}}$

Etapa 3.2.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$| a⃗ | = \sqrt{9 + 64}$

Etapa 3.2.3

Some $9$ e $64$ .

$| a⃗ | = \sqrt{73}$

Etapa 4

Encontre a magnitude de $b⃗$ .

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Etapa 4.1

A norma é a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada elemento do vetor.

$| b⃗ | = \sqrt{9^{2} + 12^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 12^{2}}$

Etapa 4.2.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$| b⃗ | = \sqrt{81 + 144}$

Etapa 4.2.3

Some $81$ e $144$ .

$| b⃗ | = \sqrt{225}$

Etapa 4.2.4

Reescreva $225$ como $15^{2}$ .

$| b⃗ | = \sqrt{15^{2}}$

Etapa 4.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$| b⃗ | = 15$

Etapa 5

Substitua os valores na fórmula.

$θ = \arccos (\frac{123}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $123$ e $15$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $3$ de $123$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{\sqrt{73} \cdot 15})$

Etapa 6.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $3$ de $\sqrt{73} \cdot 15$ .

$θ = \arccos (\frac{3 (41)}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{3 \cdot 41}{3 (\sqrt{73} \cdot 5)})$

Etapa 6.1.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{41}{\sqrt{73} \cdot 5})$

Etapa 6.2

Mova $5$ para a esquerda de $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}})$

Etapa 6.3

Multiplique $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ por $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41}{5 \sqrt{73}} \cdot \frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}})$

Etapa 6.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $\frac{41}{5 \sqrt{73}}$ por $\frac{\sqrt{73}}{\sqrt{73}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \sqrt{73} \sqrt{73}})$

Etapa 6.4.2

Mova $\sqrt{73}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 (\sqrt{73} \sqrt{73})})$

Etapa 6.4.3

Eleve $\sqrt{73}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} \sqrt{73})})$

Etapa 6.4.4

Eleve $\sqrt{73}$ à potência de $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 ({\sqrt{73}}^{1} {\sqrt{73}}^{1})})$

Etapa 6.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{1 + 1}})$

Etapa 6.4.6

Some $1$ e $1$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {\sqrt{73}}^{2}})$

Etapa 6.4.7

Reescreva ${\sqrt{73}}^{2}$ como $73$ .

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Etapa 6.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{73}$ como $73^{\frac{1}{2}}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 {(73^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 6.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 6.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{\frac{2}{2}}})$

Etapa 6.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73^{1}})$

Etapa 6.4.7.5

Avalie o expoente.

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{5 \cdot 73})$

Etapa 6.5

Multiplique $5$ por $73$ .

$θ = \arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$

Etapa 6.6

Avalie $\arccos (\frac{41 \sqrt{73}}{365})$ .

$θ = 16.31385242$

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