Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{10^{x}} + 4$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{1}{10^{x}} + 4$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 3.1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 3.1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 4 \cdot 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.2.2

Como a função $10^{x}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $4$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 3.1.1.2.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $4$ removido.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 10^{x}}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.2.2.2

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $10^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.2.3

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 10^{x}}$

Etapa 3.1.1.3

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $10^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.1.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 3.1.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 4 \cdot 10^{x}}{10^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 4 \cdot 10^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \cdot 10^{x}]$ .

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Etapa 3.1.3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cdot 10^{x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [10^{x}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [10^{x}]}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.5

Some $0$ e $4 \cdot 10^{x} \ln (10)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{\frac{d}{d x} [10^{x}]}$

Etapa 3.1.3.6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $10$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Etapa 3.1.4

Reduza.

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Etapa 3.1.4.1

Cancele o fator comum de $10^{x}$ .

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Etapa 3.1.4.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \cdot 10^{x} \ln (10)}{10^{x} \ln (10)}$

Etapa 3.1.4.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Etapa 3.1.4.2

Cancele o fator comum de $\ln (10)$ .

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Etapa 3.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{4 \ln (10)}{\ln (10)}$

Etapa 3.1.4.2.2

Divida $4$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 4$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$4$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 4$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 4$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7

Insira SEU problema