Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ , $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 1

Dois vetores são ortogonais se o produto escalar deles for $0$ .

Etapa 2

Avalie o produto escalar de $[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ e $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

$1 \cdot 1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{2}$ .

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + 0 - 1$

Etapa 2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$1 - 1$

Etapa 2.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 3

Avalie o produto escalar de $[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{array}]$ e $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

$1 \cdot 1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + 0 (- \sqrt{2}) - 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $0 (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$1 + 0 \sqrt{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{2}$ .

$1 + 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + 0 - 1$

Etapa 3.2.2

Some $1$ e $0$ .

$1 - 1$

Etapa 3.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$0$

Etapa 4

Avalie o produto escalar de $[\begin{array}{c} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ e $[\begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{2} \\ 1 \end{array}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dos seus componentes.

$1 \cdot 1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 + \sqrt{2} (- \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$1 - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}) + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - {\sqrt{2}}^{1 + 1} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.2.4

Some $1$ e $1$ .

$1 - {\sqrt{2}}^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$1 - 2^{\frac{2}{2}} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$1 - 2^{1} + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$1 - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 - 2 + 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 - 2 + 1$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$- 1 + 1$

Etapa 4.2.3

Some $- 1$ e $1$ .

$0$

Etapa 5

Os vetores são ortogonais, pois os produtos escalares são $0$ .

Ortogonal

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