Álgebra linear Exemplos

$S = {[\begin{array}{c} 6 \\ 2 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} 4 \\ - 3 \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 1

Escreva como uma matriz aumentada para $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 4 & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{6}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 2.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{6}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{6}{6} & \frac{4}{6} & \frac{0}{6} \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 & - 3 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 3 - 2 (\frac{2}{3}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 1 - 1 & 1 - \frac{2}{3} & 0 - 0 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{13}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 2.4

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{3}{13}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 2.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{3}{13}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ - \frac{3}{13} \cdot 0 & - \frac{3}{13} (- \frac{13}{3}) & - \frac{3}{13} \cdot 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \end{array}]$

Etapa 2.5

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.5.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - \frac{1}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 & \frac{1}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{1}{3} \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 2.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.6

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.6.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - \frac{2}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{2}{3} \cdot 0 & \frac{2}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 & 0 - \frac{2}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.6.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$x = 0$

$y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 5

Escreva como um conjunto de soluções.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]}$

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