Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{1 + n^{2}}$

Etapa 1

Para determinar se a série é convergente, determine se a integral da sequência é convergente.

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 2

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 4

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x)]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (x)]_{1}^{t}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Avalie $\arctan (x)$ em $t$ e em $1$ .

$lim_{t \to \infty} (\arctan (t)) - \arctan (1)$

Etapa 5.2

Remova os parênteses.

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - \arctan (1)$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Etapa 6.2

O limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (1)$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $\arctan (1)$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{π}{2} - \arctan (1)$

Etapa 6.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.4.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{2} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.4.2

Para escrever $\frac{π}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.4.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.4.3.1

Multiplique $\frac{π}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.4.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π \cdot 2}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 2 - π}{4}$

Etapa 6.4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{2 \cdot π - π}{4}$

Etapa 6.4.5.2

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$\frac{π}{4}$

Etapa 7

Como a integral é convergente, a série é convergente.

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