Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n}$

Etapa 1

Para uma série infinita $\sum_{}^{} a_{n}$ , encontre o limite $L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$ para determinar a convergência usando o Teste da raiz de Cauchy.

$L = lim_{n \to \infty} {| a_{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Etapa 2

Substitua $a_{n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} {| {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n} |}^{\frac{1}{n}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Mova o expoente para o valor absoluto.

$L = lim_{n \to \infty} | {({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}} |$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${({(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n})}^{\frac{1}{n}}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $n$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{n \frac{1}{n}} |$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$L = lim_{n \to \infty} | {(\frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1})}^{1} |$

Etapa 3.3

Simplifique.

$L = lim_{n \to \infty} | \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Mova o limite para dentro dos sinais de valor absoluto.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{2 n + n^{3}}{5 n^{3} + 1} |$

Etapa 4.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $n$ no denominador, que é $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2 n}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3

Avalie o limite.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Cancele o fator comum de $n$ e $n^{3}$ .

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Etapa 4.3.1.1.1

Fatore $n$ de $2 n$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n^{3}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.1.1.2.1

Fatore $n$ de $n^{3}$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n \cdot 2}{n \cdot n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.1.2

Cancele o fator comum de $n^{3}$ .

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Etapa 4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + \frac{n^{3}}{n^{3}}}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $n^{3}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Cancele o fator comum.

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{\frac{5 n^{3}}{n^{3}} + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.2.2

Divida $5$ por $1$ .

$L = | lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2}{n^{2}} + 1}{5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$L = | \frac{lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.3.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $n$ .

$L = | \frac{2 lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{n^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + lim_{n \to \infty} 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.5

Avalie o limite.

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Etapa 4.5.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.5.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{lim_{n \to \infty} 5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.5.3

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $n$ se aproxima de $\infty$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{3}}} |$

Etapa 4.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{n^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$L = | \frac{2 \cdot 0 + 1}{5 + 0} |$

Etapa 4.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$L = | \frac{0 + 1}{5 + 0} |$

Etapa 4.7.1.2

Some $0$ e $1$ .

$L = | \frac{1}{5 + 0} |$

Etapa 4.7.2

Some $5$ e $0$ .

$L = | \frac{1}{5} |$

Etapa 4.7.3

$\frac{1}{5}$ é aproximadamente $0.2$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$L = \frac{1}{5}$

Etapa 4.8

Divida $1$ por $5$ .

$L = 0.2$

Etapa 5

Se $L < 1$ , a série é absolutamente convergente. Se $L > 1$ , a série é divergente. Se $L = 1$ , o teste é inconclusivo. Neste caso, $L < 1$ .

A série é convergente em $[1, \infty)$

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