Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ , $y (1) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = 4 y - 3$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} + \frac{- 3}{x}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{x} - \frac{3}{x}$

Etapa 1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3}{x}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{4 y - 3}$ .

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $4 y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 y - 3} \cdot \frac{4 y - 3}{x}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4 y - 3} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{4 y - 3} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{4 y - 3} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 4 y - 3$ . Depois, $d u = 4 d y$ , então, $\frac{1}{4} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 4 y - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $4 y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [4 y - 3]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 y - 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [4 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 y$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.2.1.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3$ em relação a $y$ é $0$ .

$4 + 0$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Some $4$ e $0$ .

$4$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 4} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $4$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{4 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{4} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 y - 3$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |)) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $4 (\frac{1}{4} \ln (| 4 y - 3 |))$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (| 4 y - 3 |)$ .

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{\ln (| 4 y - 3 |)}{4} = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 4 y - 3 |) = 4 \ln (| x |) + 4 C$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |) = 4 C$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Simplifique $\ln (| 4 y - 3 |) - 4 \ln (| x |)$ .

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Etapa 3.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.1.1.1

Simplifique $- 4 \ln (| x |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln ({| x |}^{4}) = 4 C$

Etapa 3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| 4 y - 3 |) - \ln (x^{4}) = 4 C$

Etapa 3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$

Etapa 3.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}})} = e^{4 C}$

Etapa 3.6

Reescreva $\ln (\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}) = 4 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{4 C} = \frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}}$

Etapa 3.7

Resolva $y$ .

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Etapa 3.7.1

Reescreva a equação como $\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} = e^{4 C}$

Etapa 3.7.2

Multiplique os dois lados por $x^{4}$ .

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Etapa 3.7.3

Simplifique.

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Etapa 3.7.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 4 y - 3 |}{x^{4}} x^{4} = e^{4 C} x^{4}$

Etapa 3.7.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| 4 y - 3 | = e^{4 C} x^{4}$

Etapa 3.7.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.3.2.1

Reordene os fatores em $e^{4 C} x^{4}$ .

$| 4 y - 3 | = x^{4} e^{4 C}$

Etapa 3.7.4

Resolva $y$ .

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Etapa 3.7.4.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$4 y - 3 = \pm x^{4} e^{4 C}$

Etapa 3.7.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$

Etapa 3.7.4.3

Divida cada termo em $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.4.3.1

Divida cada termo em $4 y = \pm x^{4} e^{4 C} + 3$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 3.7.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 3.7.4.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm x^{4} e^{4 C}}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm x^{4} C}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ .

$1 = \frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$ .

$\frac{C \cdot 1^{4}}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{C \cdot 1}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Etapa 6.2.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$\frac{C}{4} + \frac{3}{4} = 1$

Etapa 6.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.3.1

Subtraia $\frac{3}{4}$ dos dois lados da equação.

$\frac{C}{4} = 1 - \frac{3}{4}$

Etapa 6.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{C}{4} = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

Etapa 6.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{C}{4} = \frac{4 - 3}{4}$

Etapa 6.3.4

Subtraia $3$ de $4$ .

$\frac{C}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 6.4

Como a expressão em cada lado da equação tem o mesmo denominador, os numeradores devem ser iguais.

$C = 1$

Etapa 7

Substitua $1$ por $C$ em $y = \frac{C x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $1$ por $C$ .

$y = \frac{1 x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

Etapa 7.2

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$y = \frac{x^{4}}{4} + \frac{3}{4}$

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