Cálculo Exemplos

$y = 5 x + 5$ , $[- 1, 1]$

Etapa 1

A raiz quadrada média (RMS) de uma função $f$ em um intervalo especificado $[a, b]$ é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos valores originais.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Etapa 2

Substitua os valores reais na fórmula pela raiz quadrada média de uma função.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}$

Etapa 3

Avalie a integral.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Deixe $u = 5 x + 5$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Deixe $u = 5 x + 5$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Diferencie $5 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 5]$

Etapa 3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.1.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 + 0$

Etapa 3.1.1.4.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 3.1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 5 x + 5$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5$

Etapa 3.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$u_{lower} = - 5 + 5$

Etapa 3.1.3.2

Some $- 5$ e $5$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 5 x + 5$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5$

Etapa 3.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$u_{upper} = 5 + 5$

Etapa 3.1.5.2

Some $5$ e $5$ .

$u_{upper} = 10$

Etapa 3.1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 10$

Etapa 3.1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

Etapa 3.2

Combine $u^{2}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u$

Etapa 3.3

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}$

Etapa 3.5

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Avalie $\frac{1}{3} u^{3}$ em $10$ e em $0$ .

$\frac{1}{5} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 3.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 3.5.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $1000$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3})$

Etapa 3.5.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0)$

Etapa 3.5.2.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0 (\frac{1}{3}))$

Etapa 3.5.2.5

Multiplique $0$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{1000}{3} + 0)$

Etapa 3.5.2.6

Some $\frac{1000}{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1000}{3}$

Etapa 3.5.2.7

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1000}{3}$ .

$\frac{1000}{5 \cdot 3}$

Etapa 3.5.2.8

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{1000}{15}$

Etapa 3.5.2.9

Cancele o fator comum de $1000$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.9.1

Fatore $5$ de $1000$ .

$\frac{5 (200)}{15}$

Etapa 3.5.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.9.2.1

Fatore $5$ de $15$ .

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

Etapa 3.5.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

Etapa 3.5.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{200}{3}$

Etapa 4

Simplifique a fórmula da raiz quadrada média.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $\frac{1}{1 + 1}$ por $\frac{200}{3}$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}$

Etapa 4.2

Some $1$ e $1$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}$

Etapa 4.3

Reduza a expressão $\frac{200}{2 \cdot 3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Fatore $2$ de $200$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

Etapa 4.3.2

Fatore $2$ de $2 \cdot 3$ .

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

Etapa 4.3.4

Reescreva a expressão.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

Etapa 4.4

Reescreva $\sqrt{\frac{100}{3}}$ como $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.5.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.6

Multiplique $\frac{10}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 4.7

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Multiplique $\frac{10}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.7.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.7.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 4.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.7.5

Some $1$ e $1$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 4.7.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.7.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.7.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.7.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.7.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.7.6.5

Avalie o expoente.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$f_{rms} = 5.77350269 \dots$

Etapa 6

Insira SEU problema