Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ , $(- 3, 4)$

Etapa 1

Encontre a derivada de $f (x) = x^{2} + 3 x + 34$ .

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x + 34$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [34]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [34]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [34]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [34]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $34$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $34$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 3 + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $2 x + 3$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 3$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 3$ .

$2 x + 3$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f' (x)$ é contínuo em $[- 3, 4]$ .

$f' (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f'$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\int_{- 3}^{4} 2 x + 3 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\int_{- 3}^{4} 2 x d x + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 \int_{- 3}^{4} x d x + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{4}) + \int_{- 3}^{4} 3 d x)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 3}^{4}) + 3 x]_{- 3}^{4})$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $4$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 3}^{4})$

Etapa 11.2

Avalie $3 x$ em $4$ e em $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3

Simplifique.

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Etapa 11.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{16}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 11.3.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8}{1} - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 - \frac{{(- 3)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.4

Para escrever $8$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.5

Combine $8$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{8 \cdot 2 - 9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.3.7.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{16 - 9}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.7.2

Subtraia $9$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (2 (\frac{7}{2}) + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.8

Combine $2$ e $\frac{7}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.9

Multiplique $2$ por $7$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{14}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.10

Cancele o fator comum de $14$ e $2$ .

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Etapa 11.3.10.1

Fatore $2$ de $14$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.10.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.3.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2 (1)} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.10.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 1} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.10.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (\frac{7}{1} + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.10.2.4

Divida $7$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.11

Multiplique $3$ por $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 12 - 3 \cdot - 3)$

Etapa 11.3.12

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 12 + 9)$

Etapa 11.3.13

Some $12$ e $9$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (7 + 21)$

Etapa 11.3.14

Some $7$ e $21$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 3} (28)$

Etapa 12

Some $4$ e $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 28$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 13.1

Fatore $7$ de $28$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (4))$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 4)$

Etapa 13.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 4$

Etapa 14

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