Cálculo Exemplos

$7 x^{2} + 3 x$ , $(1, 10)$

Etapa 1

Escreva $7 x^{2} + 3 x$ como uma função.

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Etapa 2

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$ em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 7 {(1)}^{2} + 3 (1)$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 7 \cdot 1 + 3 (1)$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$f (1) = 7 + 3 (1)$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = 7 + 3$

Etapa 2.1.2.2

Some $7$ e $3$ .

$f (1) = 10$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 2.2

Como $10 = 10$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 3

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$ $=$ A derivada de $f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Etapa 4

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 5

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Reescreva ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.2

Expanda $(x + h) (x + h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3.1.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3.2

Some $x h$ e $h x$ .

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Etapa 5.1.2.1.3.2.1

Reordene $x$ e $h$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3.2.2

Some $h x$ e $h x$ .

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.5

Multiplique $2$ por $7$ .

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Etapa 5.1.2.2

A resposta final é $7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

Etapa 5.2

Reordene.

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Etapa 5.2.1

Mova $3 x$ .

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x$

Etapa 5.2.2

Mova $7 x^{2}$ .

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Etapa 5.2.3

Reordene $14 h x$ e $7 h^{2}$ .

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

Etapa 5.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Etapa 6

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}$

Etapa 7.1.4

Subtraia $7 x^{2}$ de $7 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

Etapa 7.1.5

Some $7 h^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

Etapa 7.1.6

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}$

Etapa 7.1.7

Some $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8

Fatore $h$ de $7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ .

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Etapa 7.1.8.1

Fatore $h$ de $7 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8.2

Fatore $h$ de $14 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8.3

Fatore $h$ de $3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}$

Etapa 7.1.8.4

Fatore $h$ de $h (7 h) + h (14 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}$

Etapa 7.1.8.5

Fatore $h$ de $h (7 h + 14 x) + h \cdot 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Etapa 7.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $7 h + 14 x + 3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7 h + 14 x + 3$

Etapa 7.2.2

Reordene $7 h$ e $14 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 14 x + 7 h + 3$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Etapa 8.2

Avalie o limite de $14 x$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

Etapa 8.3

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

Etapa 8.4

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + 3$

Etapa 9

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$14 x + 7 \cdot 0 + 3$

Etapa 10

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$14 x + 0 + 3$

Etapa 10.2

Some $14 x$ e $0$ .

$14 x + 3$

Etapa 11

Simplifique $14 (1) + 3$ .

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Etapa 11.1

Multiplique $14$ por $1$ .

$m = 14 + 3$

Etapa 11.2

Some $14$ e $3$ .

$m = 17$

Etapa 12

A inclinação é $m = 17$ , e o ponto é $(1, 10)$ .

$m = 17, (1, 10)$

Etapa 13

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

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Etapa 13.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 13.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (17) \cdot x + b$

Etapa 13.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (17) \cdot (1) + b$

Etapa 13.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$10 = (17) \cdot (1) + b$

Etapa 13.5

Encontre o valor de $b$ .

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Etapa 13.5.1

Reescreva a equação como $(17) \cdot (1) + b = 10$ .

$(17) \cdot (1) + b = 10$

Etapa 13.5.2

Multiplique $17$ por $1$ .

$17 + b = 10$

Etapa 13.5.3

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 13.5.3.1

Subtraia $17$ dos dois lados da equação.

$b = 10 - 17$

Etapa 13.5.3.2

Subtraia $17$ de $10$ .

$b = - 7$

Etapa 14

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 17 x - 7$

Etapa 15

Insira SEU problema