Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x - 8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 8 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 4 x - 8$ .

$4 x^{3} + 4 x - 8$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 4 x - 8 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 x - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) + 4 x - 8 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $4$ de $4 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (x) - 8 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $4$ de $- 8$ .

$4 (x^{3}) + 4 x + 4 \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $4$ de $4 (x^{3}) + 4 x$ .

$4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $4$ de $4 (x^{3} + x) + 4 \cdot - 2$ .

$4 (x^{3} + x - 2) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{3} + x - 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Etapa 2.2.2.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.2.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} + 1 - 2$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 + 1 - 2$

Etapa 2.2.2.1.3.3

Some $1$ e $1$ .

$2 - 2$

Etapa 2.2.2.1.3.4

Subtraia $2$ de $2$ .

$0$

Etapa 2.2.2.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + x - 2}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.1.5

Divida $x^{3} + x - 2$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.2.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$2$

Etapa 2.2.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$

Etapa 2.2.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.2.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.2.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Etapa 2.2.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.2.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.2.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.2.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.2.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$

Etapa 2.2.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 2.2.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 2.2.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Etapa 2.2.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x - 2$ .

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Etapa 2.2.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	+	$2$
										$0$

Etapa 2.2.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + x + 2$

Etapa 2.2.2.1.6

Escreva $x^{3} + x - 2$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x - 1) (x^{2} + x + 2)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} + x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} + x + 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} + x + 2 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} + x + 2 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.3

Subtraia $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.3

Subtraia $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{7})}{2}$

Etapa 2.5.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{7})}{2}$

Etapa 2.5.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.3

Subtraia $8$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.4

Reescreva $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.5.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{7})}{2}$

Etapa 2.5.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{7})}{2}$

Etapa 2.5.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 1) (x^{2} + x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{2}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $1$ .

$1$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 4 x^{3} + 4 x - 8$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - 8 x$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ .

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 1)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} + 4 (0) - 8$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 + 4 (0) - 8$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 4 (0) - 8$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 8$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 8$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$f' (0) = - 8$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 8$ .

$- 8$

Etapa 5.3

Em $x = 0$ , a derivada é $- 8$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 1)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 1)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(1, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 4 (2) - 8$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 4 (2) - 8$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 + 4 (2) - 8$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$f' (2) = 32 + 8 - 8$

Etapa 6.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Some $32$ e $8$ .

$f' (2) = 40 - 8$

Etapa 6.2.2.2

Subtraia $8$ de $40$ .

$f' (2) = 32$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $32$ .

$32$

Etapa 6.3

Em $x = 2$ , a derivada é $32$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(1, \infty)$ .

Acréscimo em $(1, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(1, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 1)$

Etapa 8

Insira SEU problema