Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 36$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 12 x^{2} + 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 24 x + \frac{d}{d x} [36]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.3.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 24 x + 0$

Etapa 1.1.3.2

Some $4 x^{3} - 24 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 24 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 24 x$ .

$4 x^{3} - 24 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 24 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 24 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 24 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 24 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $4 x$ de $- 24 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 6) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 6)$ .

$4 x (x^{2} - 6) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 6$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 6 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 6 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 6$

Etapa 2.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{6}$

Etapa 2.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{6}$

Etapa 2.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{6}$

Etapa 2.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x^{2} - 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$ .

$0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \sqrt{6}) \cup (- \sqrt{6}, 0) \cup (0, \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \sqrt{6})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 3.4494898$ na expressão.

$f' (- 3.4494898) = 4 {(- 3.4494898)}^{3} - 24 \cdot - 3.4494898$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 3.4494898$ à potência de $3$ .

$f' (- 3.4494898) = 4 \cdot - 41.04540972 - 24 \cdot - 3.4494898$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 41.04540972$ .

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 - 24 \cdot - 3.4494898$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $- 3.4494898$ .

$f' (- 3.4494898) = - 164.18163891 + 82.7877552$

Etapa 5.2.2

Some $- 164.18163891$ e $82.7877552$ .

$f' (- 3.4494898) = - 81.39388371$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 81.39388371$ .

$- 81.39388371$

Etapa 5.3

Em $x = - 3.4494898$ , a derivada é $- 81.39388371$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, - \sqrt{6})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \sqrt{6})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 2.4494898, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.2247449$ na expressão.

$f' (- 1.2247449) = 4 {(- 1.2247449)}^{3} - 24 \cdot - 1.2247449$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Eleve $- 1.2247449$ à potência de $3$ .

$f' (- 1.2247449) = 4 \cdot - 1.83711743 - 24 \cdot - 1.2247449$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1.83711743$ .

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 - 24 \cdot - 1.2247449$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $- 1.2247449$ .

$f' (- 1.2247449) = - 7.34846974 + 29.3938776$

Etapa 6.2.2

Some $- 7.34846974$ e $29.3938776$ .

$f' (- 1.2247449) = 22.04540785$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $22.04540785$ .

$22.04540785$

Etapa 6.3

Em $x = - 1.2247449$ , a derivada é $22.04540785$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- 2.4494898, 0)$ .

Acréscimo em $(- \sqrt{6}, 0)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \sqrt{6})$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $1.2247449$ na expressão.

$f' (1.2247449) = 4 {(1.2247449)}^{3} - 24 \cdot 1.2247449$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $1.2247449$ à potência de $3$ .

$f' (1.2247449) = 4 \cdot 1.83711743 - 24 \cdot 1.2247449$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $4$ por $1.83711743$ .

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 24 \cdot 1.2247449$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $1.2247449$ .

$f' (1.2247449) = 7.34846974 - 29.3938776$

Etapa 7.2.2

Subtraia $29.3938776$ de $7.34846974$ .

$f' (1.2247449) = - 22.04540785$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 22.04540785$ .

$- 22.04540785$

Etapa 7.3

Em $x = 1.2247449$ , a derivada é $- 22.04540785$ . Por ser negativa, a função diminui em $(0, \sqrt{6})$ .

Decréscimo em $(0, \sqrt{6})$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 8

Substitua um valor do intervalo $(\sqrt{6}, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $3.4494898$ na expressão.

$f' (3.4494898) = 4 {(3.4494898)}^{3} - 24 \cdot 3.4494898$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $3.4494898$ à potência de $3$ .

$f' (3.4494898) = 4 \cdot 41.04540972 - 24 \cdot 3.4494898$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $4$ por $41.04540972$ .

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 24 \cdot 3.4494898$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $- 24$ por $3.4494898$ .

$f' (3.4494898) = 164.18163891 - 82.7877552$

Etapa 8.2.2

Subtraia $82.7877552$ de $164.18163891$ .

$f' (3.4494898) = 81.39388371$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $81.39388371$ .

$81.39388371$

Etapa 8.3

Em $x = 3.4494898$ , a derivada é $81.39388371$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(\sqrt{6}, \infty)$ .

Acréscimo em $(\sqrt{6}, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 9

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \sqrt{6}, 0), (\sqrt{6}, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, - \sqrt{6}), (0, \sqrt{6})$

Etapa 10

Insira SEU problema