Cálculo Exemplos

$\frac{y}{(y - 2) (y + 3)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{y - 2}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(y - 2) (y + 3)$ .

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $y + 3$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.5.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $y - 2$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{A (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (y + 3)$ por $1$ .

$y = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6.3

Mova $3$ para a esquerda de $A$ .

$y = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de $y + 3$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$y = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6.4.2

Divida $(B) (y - 2)$ por $1$ .

$y = A y + 3 A + (B) (y - 2)$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$y = A y + 3 A + B y + B \cdot - 2$

Etapa 1.6.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $B$ .

$y = A y + 3 A + B y - 2 B$

Etapa 1.7

Mova $3 A$ .

$y = A y + B y + 3 A - 2 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 3 A - 2 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

$1 = A + B$

$0 = 3 A - 2 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = 3 A - 2 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 A - 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = 3 A - 2 B$ por $1 - B$ .

$0 = 3 (1 - B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $3 (1 - B) - 2 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$0 = 3 + 3 (- B) - 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $2 B$ de $- 3 B$ .

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

$0 = 3 - 5 B$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $0 = 3 - 5 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $3 - 5 B = 0$ .

$3 - 5 B = 0$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 5 B = - 3$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $- 5 B = - 3$ por $- 5$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $- 5 B = - 3$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

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Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 3}{- 5}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{5}$

$A = 1 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{3}{5}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{3}{5}$ .

$A = 1 - (\frac{3}{5})$

$B = \frac{3}{5}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{3}{5})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{5 - 3}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Etapa 3.4.2.1.3

Subtraia $3$ de $5$ .

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

$A = \frac{2}{5}$

$B = \frac{3}{5}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{2}{5}, B = \frac{3}{5}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{2}{5}}{y - 2} + \frac{\frac{3}{5}}{y + 3}$

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