Álgebra linear Exemplos

$A = [\begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 2 & - 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$ , $x = [\begin{array}{c} - 12 \\ 0 \\ - 4 \end{array}]$

Etapa 1

Escreva como uma matriz aumentada para $A x = [\begin{array}{c} - 12 \\ 0 \\ - 4 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - 2 & 2 & - 12 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Etapa 2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 2.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 2.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $- \frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 12 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Etapa 2.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - 2 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Etapa 2.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 2.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - 2 + 2 \cdot 1 & - 1 + 2 \cdot - 1 & 0 + 2 \cdot 6 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Etapa 2.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & - 3 & 12 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Etapa 2.3

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{3}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $- \frac{1}{3}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ - \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 12 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Etapa 2.3.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 1 & - 4 \end{array}]$

Etapa 2.4

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.4.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 4 \end{array}]$

Etapa 2.4.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & 6 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.5

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 2.5.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 1 + 1 \cdot 1 & 6 - 4 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2.5.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & - 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3

Escreva a matriz como um sistema de equações lineares.

$x = 2$

$y = - 4$

$0 = 0$

Etapa 4

Escreva as soluções como um conjunto de vetores.

${[\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \end{array}]}$

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