Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(5, 7)$

Etapa 1

Escreva $y = 3 x^{3} + x + 3$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

$f (x)$ é contínuo em $[5, 7]$ .

$f (x)$ é contínuo

Etapa 4

O valor médio da função $f$ sobre o intervalo $[a, b]$ é definido como $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Etapa 5

Substitua os valores reais na fórmula pelo valor médio de uma função.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} + x + 3 d x)$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (\int_{5}^{7} 3 x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \int_{5}^{7} x^{3} d x + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1}{4} x^{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Etapa 9

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \int_{5}^{7} x d x + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + \int_{5}^{7} 3 d x)$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7} + 3 x]_{5}^{7})$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{5}^{7}$ e $3 x]_{5}^{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{x^{4}}{4}]_{5}^{7}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Etapa 12.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Avalie $\frac{x^{4}}{4}$ em $7$ e em $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} x^{2} + 3 x]_{5}^{7})$

Etapa 12.2.2

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} + 3 x$ em $7$ e em $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.1

Eleve $7$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{5^{4}}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.2

Eleve $5$ à potência de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401}{4} - \frac{625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{2401 - 625}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.4

Subtraia $625$ de $2401$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{1776}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.5

Cancele o fator comum de $1776$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.5.1

Fatore $4$ de $1776$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.5.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 (1)}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{4 \cdot 444}{4 \cdot 1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 (\frac{444}{1}) + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.5.2.4

Divida $444$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (3 \cdot 444 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.6

Multiplique $3$ por $444$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 7^{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.7

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{1}{2} \cdot 49 + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 3 \cdot 7 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.9

Multiplique $3$ por $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.10

Para escrever $21$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + 21 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.11

Combine $21$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49}{2} + \frac{21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 21 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.13.1

Multiplique $21$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{49 + 42}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.13.2

Some $49$ e $42$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 5^{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.14

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 25 + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.15

Combine $\frac{1}{2}$ e $25$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 3 \cdot 5))$

Etapa 12.2.3.16

Multiplique $3$ por $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15))$

Etapa 12.2.3.17

Para escrever $15$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}))$

Etapa 12.2.3.18

Combine $15$ e $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - (\frac{25}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}))$

Etapa 12.2.3.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 15 \cdot 2}{2})$

Etapa 12.2.3.20

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.20.1

Multiplique $15$ por $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{25 + 30}{2})$

Etapa 12.2.3.20.2

Some $25$ e $30$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91}{2} - \frac{55}{2})$

Etapa 12.2.3.21

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{91 - 55}{2})$

Etapa 12.2.3.22

Subtraia $55$ de $91$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{36}{2})$

Etapa 12.2.3.23

Cancele o fator comum de $36$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.23.1

Fatore $2$ de $36$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2})$

Etapa 12.2.3.23.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.3.23.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 (1)})$

Etapa 12.2.3.23.2.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1})$

Etapa 12.2.3.23.2.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + \frac{18}{1})$

Etapa 12.2.3.23.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1332 + 18)$

Etapa 12.2.3.24

Some $1332$ e $18$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 5} (1350)$

Etapa 13

Subtraia $5$ de $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 1350$

Etapa 14

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Fatore $2$ de $1350$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (675))$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 675)$

Etapa 14.3

Reescreva a expressão.

$A (x) = 675$

Etapa 15

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