Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.2.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{2} + 12 x + 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $12 x^{2} + 12 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} + 12 x$ .

$12 x^{2} + 12 x$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $12 x$ de $12 x^{2} + 12 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $12 x$ de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 12 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $12 x$ de $12 x$ .

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $12 x$ de $12 x (x) + 12 x (1)$ .

$12 x (x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Etapa 3.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 3.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Etapa 3.1.2.2.3

Some $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ é $(0, 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 1)$

Etapa 3.3

Substitua $- 1$ em $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

Etapa 3.3.2.2.2

Some $- 1$ e $8$ .

$f (- 1) = 7 + 1$

Etapa 3.3.2.2.3

Some $7$ e $1$ .

$f (- 1) = 8$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $8$ .

$8$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- 1$ em $f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ é $(- 1, 8)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, 8)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 1), (- 1, 8)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1.1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $12$ por $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $12$ por $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

Etapa 5.2.2

Subtraia $13.2$ de $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 1.32$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $1.32$ .

$1.32$

Etapa 5.3

Em $- 1.1$ , a segunda derivada é $1.32$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 1)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 1, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.2.1.6.1

Fatore $4$ de $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 6.2.1.7.2

Fatore $2$ de $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

Etapa 6.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

Etapa 6.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

Etapa 6.2.2

Subtraia $6$ de $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.3

Em $- \frac{1}{2}$ , a segunda derivada é $- 3$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- 1, 0)$ .

Decréscimo em $(- 1, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $12$ por $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $12$ por $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

Etapa 7.2.2

Some $0.12$ e $1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.32$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $1.32$ .

$1.32$

Etapa 7.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $1.32$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- 1, 8), (0, 1)$ .

$(- 1, 8), (0, 1)$

Etapa 9

Insira SEU problema