기초 미적분 예제

$8$ , $2$ , $\frac{1}{2}$

각 항 사이의 비가 일정하므로 등비수열입니다. 이 경우 수열의 한 항에 $\frac{1}{4}$ 을 곱하면 다음 항이 나옵니다. 즉, $a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}$ 입니다.

등비수열: $r = \frac{1}{4}$

$S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 공식을 이용하여 급수의 합 $S_{n}$ 을 계산합니다. 무한등비급수 $S_{\infty}$ 의 합의 경우, $n$ 이 $\infty$ 에 가까워질 수록 $1 - r^{n}$ 은 $1$ 에 수렴합니다. 따라서 $\frac{a (1 - r^{n})}{1 - r}$ 은 $\frac{a}{1 - r}$ 로 수렴합니다.

$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

$a = 8$ , $r = \frac{1}{4}$ 값을 $S_{\infty}$ 식에 대입합니다.

$S_{\infty} = \frac{8}{1 - \frac{1}{4}}$

$S_{\infty}$ 를 구하기 위하여 방정식을 간단히 합니다.

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분모를 간단히 합니다.

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공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{1}{1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4}}$

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $4$ 이 되도록 식을 씁니다.

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조합합니다.

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 4} - \frac{1}{4}}$

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4}}$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{1 \cdot 4 - 1}{4}}$

분자를 간단히 합니다.

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$1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{4 - 1}{4}}$

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$S_{\infty} = \frac{8}{\frac{3}{4}}$

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$S_{\infty} = 8 (\frac{4}{3})$

$8 (\frac{4}{3})$ 을 곱합니다.

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$8$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$S_{\infty} = \frac{8 \cdot 4}{3}$

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$S_{\infty} = \frac{32}{3}$

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