기초 미적분 예제

$f (x) = 5 x^{3} + 6$

Step 1

Write $f (x) = 5 x^{3} + 6$ as an equation.

$y = 5 x^{3} + 6$

Step 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 5 y^{3} + 6$

Step 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$5 y^{3} + 6 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$5 y^{3} + 6 = x$

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$5 y^{3} = x - 6$

Divide each term in $5 y^{3} = x - 6$ by $5$ and simplify.

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$5 y^{3} = x - 6$ 의 각 항을 $5$ 로 나눕니다.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

좌변을 간단히 합니다.

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$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$\frac{5 y^{3}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

$y^{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{3} = \frac{x}{5} + \frac{- 6}{5}$

우변을 간단히 합니다.

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마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$y^{3} = \frac{x}{5} - \frac{6}{5}$

방정식의 양변에 세제곱근을 취하여 좌변의 지수를 소거합니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{5} - \frac{6}{5}}$

$\sqrt[3]{\frac{x}{5} - \frac{6}{5}}$ 을 간단히 합니다.

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분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$y = \sqrt[3]{\frac{x - 6}{5}}$

$\sqrt[3]{\frac{x - 6}{5}}$ 을(를) $\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ (으)로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$

$\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Combine and simplify the denominator.

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$\frac{\sqrt[3]{x - 6}}{\sqrt[3]{5}}$ 에 $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ 을 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

$\sqrt[3]{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

${\sqrt[3]{5}}^{3}$ 을(를) $5$ (으)로 바꿔 씁니다.

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Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ to rewrite $\sqrt[3]{5}$ as $5^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

지수 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

수식을 다시 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

지수값을 계산합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

분자를 간단히 합니다.

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${\sqrt[3]{5}}^{2}$ 을(를) ${(5^{2})}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 바꿔 씁니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{x - 6} \sqrt[3]{25}}{5}$

인수분해하여 간단히 합니다.

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근호의 곱셈 규칙을 사용하여 묶습니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x - 6) \cdot 25}}{5}$

$\frac{\sqrt[3]{(x - 6) \cdot 25}}{5}$ 에서 인수를 다시 정렬합니다.

$y = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

Step 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

Step 5

Verify if $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ is the inverse of $f (x) = 5 x^{3} + 6$ .

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To verify the inverse, check if $f^{- 1} (f (x)) = x$ and $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (5 x^{3} + 6)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 ((5 x^{3} + 6) - 6)}}{5}$

분자를 간단히 합니다.

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$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 (5 x^{3} + 0)}}{5}$

$5 x^{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{25 \cdot (5 x^{3})}}{5}$

$25$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{125 x^{3}}}{5}$

$125 x^{3}$ 을(를) ${(5 x)}^{3}$ (으)로 바꿔 씁니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{\sqrt[3]{{(5 x)}^{3}}}{5}$

Pull terms out from under the radical, assuming real numbers.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{5 x}{5}$

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = \frac{5 x}{5}$

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (5 x^{3} + 6) = x$

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5})$ 값을 계산합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 {(\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5})}^{3} + 6$

각 항을 간단히 합니다.

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$\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ 에 곱의 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}^{3}}{5^{3}}) + 6$

분자를 간단히 합니다.

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${\sqrt[3]{25 (x - 6)}}^{3}$ 을(를) $25 (x - 6)$ (으)로 바꿔 씁니다.

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Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ to rewrite $\sqrt[3]{25 (x - 6)}$ as ${(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{({(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{5^{3}}) + 6$

지수 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{5^{3}}) + 6$

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 6$

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{{(25 (x - 6))}^{\frac{3}{3}}}{5^{3}}) + 6$

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

간단히 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 6}{5^{3}}) + 6$

$25$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x - 150}{5^{3}}) + 6$

$25 x - 150$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

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$25 x$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x) - 150}{5^{3}}) + 6$

$- 150$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 x + 25 \cdot - 6}{5^{3}}) + 6$

$25 x + 25 \cdot - 6$ 에서 $25$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5^{3}}) + 6$

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{125}) + 6$

$5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$125$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5 (25)}) + 6$

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = 5 (\frac{25 (x - 6)}{5 \cdot 25}) + 6$

수식을 다시 씁니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = \frac{25 (x - 6)}{25} + 6$

$25$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = \frac{25 (x - 6)}{25} + 6$

$x - 6$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x - 6 + 6$

Combine the opposite terms in $x - 6 + 6$ .

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$- 6$ 를 $6$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x + 0$

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}) = x$

Since $f^{- 1} (f (x)) = x$ and $f (f^{- 1} (x)) = x$ , then $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$ is the inverse of $f (x) = 5 x^{3} + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{25 (x - 6)}}{5}$

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