기초 미적분 예제

$\frac{2 x + 6}{x} < 1$

양변에 그 값을 빼서 $1$ 를 식의 좌변으로 옮깁니다.

$\frac{2 x + 6}{x} - 1 < 0$

$\frac{2 x + 6}{x} - 1$ 을 간단히 합니다.

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$2 x + 6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x) + 6}{x} - 1 < 0$

$6$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3}{x} - 1 < 0$

$2 x + 2 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 < 0$

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{x}{x}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x} < 0$

항을 간단히 합니다.

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$- 1$ 와 $\frac{x}{x}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 (x + 3)}{x} + \frac{- x}{x} < 0$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$\frac{2 (x + 3) - x}{x} < 0$

분자를 간단히 합니다.

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분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 x + 2 \cdot 3 - x}{x} < 0$

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 x + 6 - x}{x} < 0$

$2 x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\frac{x + 6}{x} < 0$

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$x = 0$

$x + 6 = 0$

방정식의 양변에서 $6$ 를 뺍니다.

$x = - 6$

각 인수에 대해 식을 풀어 절대값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 0$

$x = - 6$

Consolidate the solutions.

$x = 0, - 6$

$\frac{x + 6}{x}$ 의 정의역을 구합니다.

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Set the denominator in $\frac{x + 6}{x}$ equal to $0$ to find where the expression is undefined.

$x = 0$

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 6$

$- 6 < x < 0$

$x > 0$

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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$x < - 6$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 8$

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 8$ 로 치환합니다.

$\frac{2 (- 8) + 6}{- 8} < 1$

좌변 $1.25$ 이 우변 $1$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

$- 6 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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$- 6 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 3$

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 3$ 로 치환합니다.

$\frac{2 (- 3) + 6}{- 3} < 1$

좌변 $0$ 이 우변 $1$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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$x > 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$\frac{2 (2) + 6}{2} < 1$

좌변 $5$ 이 우변 $1$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 6$ 거짓

$- 6 < x < 0$ 참

$x > 0$ 거짓

$x < - 6$ 거짓

$- 6 < x < 0$ 참

$x > 0$ 거짓

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 6 < x < 0$

The result can be shown in multiple forms.

부등식 형식:

$- 6 < x < 0$

구간 표기:

$(- 6, 0)$

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