기초 미적분 예제

$4 x^{2} + 3 y^{2} = 12$

단계 1

타원 방정식의 표준형을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 항을 $12$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{4 x^{2}}{12} + \frac{3 y^{2}}{12} = \frac{12}{12}$

단계 1.2

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$

단계 2

이것은 타원의 형태입니다. 이 형태를 이용하여 타원의 장축과 주축을 따라 중심을 찾는 데 사용되는 값들을 구합니다.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

단계 3

이 타원의 값들을 표준형과 맞춰 봅니다. 변수 $a$ 는 타원의 장축의 반지름을, $b$ 는 타원의 단축의 반지름을, $h$ 는 원점으로부터의 x축 방향으로 떨어진 거리를, $k$ 는 원점으로부터 y축 방향으로 떨어진 거리를 의미합니다.

$a = 2$

$b = \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

단계 4

타원의 중심은 $(h, k)$ 형태입니다. $h$ 와 $k$ 값을 식에 대입합니다.

$(0, 0)$

단계 5

중심으로부터 초점까지의 거리인 $c$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

다음의 공식을 이용하여 중심으로부터 타원의 중점까지의 거리를 구합니다.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

단계 5.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\sqrt{4 - {(\sqrt{3})}^{2}}$

단계 5.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 5.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}$

단계 5.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sqrt{4 - 3^{1}}$

단계 5.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\sqrt{4 - 1 \cdot 3}$

단계 5.3.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\sqrt{4 - 3}$

단계 5.3.3.2

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\sqrt{1}$

단계 5.3.3.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$1$

단계 6

꼭짓점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

타원의 첫 번째 꼭짓점은 $k$ 에 $a$ 를 더해서 구할 수 있습니다.

$(h, k + a)$

단계 6.2

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + 2)$

단계 6.3

간단히 합니다.

$(0, 2)$

단계 6.4

타원의 두번째 꼭지점은 $k$ 에서 $a$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - a)$

단계 6.5

알고 있는 값인 $h$ , $a$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (2))$

단계 6.6

간단히 합니다.

$(0, - 2)$

단계 6.7

타원에는 꼭짓점이 2개 있습니다.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

단계 7

초점을 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에 $c$ 를 더해 구할 수 있습니다.

$(h, k + c)$

단계 7.2

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 + 1)$

단계 7.3

간단히 합니다.

$(0, 1)$

단계 7.4

타원의 첫 번째 초점은 $k$ 에서 $c$ 를 빼서 구할 수 있습니다.

$(h, k - c)$

단계 7.5

알고 있는 값인 $h$ , $c$ , $k$ 를 공식에 대입합니다.

$(0, 0 - (1))$

단계 7.6

간단히 합니다.

$(0, - 1)$

단계 7.7

타원에는 초점이 2개 있습니다.

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

단계 8

이심률을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다음의 공식을 이용하여 이심률 값을 구합니다.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

단계 8.2

$a$ , $b$ 값을 공식에 대입합니다.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}}}{2}$

단계 8.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{\sqrt{4 - {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

단계 8.3.2

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

단계 8.3.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

단계 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

단계 8.3.2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

단계 8.3.2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\sqrt{4 - 3^{1}}}{2}$

단계 8.3.2.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{\sqrt{4 - 1 \cdot 3}}{2}$

단계 8.3.3

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{\sqrt{4 - 3}}{2}$

단계 8.3.4

$4$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{\sqrt{1}}{2}$

단계 8.3.5

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$\frac{1}{2}$

단계 9

이는 타원을 그리고 분석하는 데 사용되는 중요한 값들입니다.

중심: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 2)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 1)$

이심률: $\frac{1}{2}$

단계 10

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