기초 미적분 예제

$\frac{x - 3}{x^{3} + 3 x}$

Step 1

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$x^{3} + 3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$x^{3}$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + 3 x}$

$3 x$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

$x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ 에서 $x$ 를 인수분해합니다.

$\frac{x - 3}{x (x^{2} + 3)}$

분모의 각 인수에 대해 분모에는 인수를, 분자에는 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 인수가 2차이므로 분자에 $2$ 개의 항이 필요합니다. 분자에 필요한 항의 개수는 항상 분모에 있는 인수의 차수와 동일합니다.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $x (x^{2} + 3)$ 입니다.

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

$x^{2} + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

$x - 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

$A (x^{2} + 3)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x - 3 = A (x^{2} + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 3 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Move $3$ to the left of $A$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

$x^{2} + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

$(B x + C) (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + (B x + C) (x)$

분배 법칙을 적용합니다.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + C x$

Multiply $x$ by $x$ by adding the exponents.

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$x$ 를 옮깁니다.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + C x$

식을 간단히 합니다.

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$C$ 와 $x$ 을 다시 배열합니다.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + C x$

$3 A$ 를 옮깁니다.

$x - 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 3 A$

Step 2

부분 분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

방정식의 각 변의 $x^{2}$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = C$

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 3 = 3 A$

부분 분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

Step 3

연립방정식을 풉니다.

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$C = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$C = 1$

$0 = A + B$

$- 3 = 3 A$

Replace all occurrences of $C$ with $1$ in each equation.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3 A = - 3$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$3 A = - 3$

$C = 1$

$0 = A + B$

Divide each term in $3 A = - 3$ by $3$ and simplify.

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$3 A = - 3$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

좌변을 간단히 합니다.

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$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 3$ 을 $3$ 로 나눕니다.

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

Replace all occurrences of $A$ with $- 1$ in each equation.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Replace all occurrences of $A$ in $0 = A + B$ with $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 1$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

괄호를 제거합니다.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Solve for $B$ in $0 = - 1 + B$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 1 + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

$C = 1$

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

Solve the system of equations $B = 1 A = - 1 C = 1$ .

$B = 1 A = - 1 C = 1$

모든 해를 나열합니다.

$B = 1, A = - 1, C = 1$

Step 4

$A$ , $B$ , $C$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$- \frac{1}{x} + \frac{1 x + 1}{x^{2} + 3}$

Step 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

괄호를 제거합니다.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 1}{x^{2} + 3}$

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{- 1}{x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$

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