기초 미적분 예제

$\frac{5 x - 4}{x^{2} - x - 2}$

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

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AC 방법을 이용하여 $x^{2} - x - 2$ 를 인수분해합니다.

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$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 2, 1$

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\frac{5 x - 4}{(x - 2) (x + 1)}$

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 2}$

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x - 2) (x + 1)$ 입니다.

$\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$\frac{(5 x - 4) (x - 2) (x + 1)}{(x - 2) (x + 1)} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

수식을 다시 씁니다.

$\frac{(5 x - 4) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$\frac{(5 x - 4) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

$5 x - 4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x - 4 = \frac{(A) (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

각 항을 간단히 합니다.

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$x - 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$5 x - 4 = \frac{A (x - 2) (x + 1)}{x - 2} + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

$(A) (x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x - 4 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x - 4 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

$A$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$5 x - 4 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$5 x - 4 = A x + A + \frac{(B) (x - 2) (x + 1)}{x + 1}$

$(B) (x - 2)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5 x - 4 = A x + A + (B) (x - 2)$

분배 법칙을 적용합니다.

$5 x - 4 = A x + A + B x + B \cdot - 2$

Move $- 2$ to the left of $B$ .

$5 x - 4 = A x + A + B x - 2 B$

$A$ 를 옮깁니다.

$5 x - 4 = A x + B x + A - 2 B$

부분 분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

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방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$5 = A + B$

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$- 4 = A - 2 B$

부분 분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$5 = A + B$

$- 4 = A - 2 B$

$5 = A + B$

$- 4 = A - 2 B$

연립방정식을 풉니다.

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첫번째 방정식에서 $A$ 에 대하여 풉니다.

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$A + B = 5$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 5$

$- 4 = A - 2 B$

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = 5 - B$

$- 4 = A - 2 B$

$A = 5 - B$

$- 4 = A - 2 B$

Replace all occurrences of $A$ in $- 4 = A - 2 B$ with $5 - B$ .

$A = 5 - B$

$- 4 = (5 - B) - 2 B$

$- B$ 에서 $2 B$ 을 뺍니다.

$A = 5 - B$

$- 4 = 5 - 3 B$

두번째 방정식에서 $B$ 에 대하여 풉니다.

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$5 - 3 B = - 4$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A = 5 - B$

$5 - 3 B = - 4$

$B$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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방정식의 양변에서 $5$ 를 뺍니다.

$A = 5 - B$

$- 3 B = - 4 - 5$

$- 4$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$A = 5 - B$

$- 3 B = - 9$

$A = 5 - B$

$- 3 B = - 9$

각 항을 $- 3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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$- 3 B = - 9$ 의 각 항을 $- 3$ 로 나눕니다.

$A = 5 - B$

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$- 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$A = 5 - B$

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 9}{- 3}$

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$A = 5 - B$

$B = \frac{- 9}{- 3}$

$- 9$ 을 $- 3$ 로 나눕니다.

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

$A = 5 - B$

$B = 3$

Replace all occurrences of $B$ in $A = 5 - B$ with $3$ .

$A = 5 - (3)$

$B = 3$

$5 - (3)$ 을 간단히 합니다.

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$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$A = 5 - 3$

$B = 3$

$5$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A = 2$

$B = 3$

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x + 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{2}{x - 2} + \frac{3}{x + 1}$

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