기초 미적분 예제

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 을 인수분해합니다.

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Factor $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ using the rational roots test.

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다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6 q = \pm 1$

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Substitute $1$ and simplify the expression. In this case, the expression is equal to $0$ so $1$ is a root of the polynomial.

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Substitute $1$ into the polynomial.

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

각 항을 간단히 합니다.

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1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 + 4 + 1 - 6$

$1$ 를 $4$ 에 더합니다.

$5 + 1 - 6$

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$6 - 6$

$6$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$0$

Since $1$ is a known root, divide the polynomial by $x - 1$ to find the quotient polynomial. This polynomial can then be used to find the remaining roots.

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ 을 $x - 1$ 로 나눕니다.

$x^{2} + 5 x + 6$

Write $x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ as a set of factors.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $6$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$2, 3$

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

불필요한 괄호를 제거합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + 5 x + 6$ 를 인수분해합니다.

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$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $6$ 이고 합은 $5$ 입니다.

$2, 3$

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

$x + 2$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

수식을 다시 씁니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

$x + 3$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

$x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f (x) = x - 1$

To find the holes in the graph, look at the denominator factors that were cancelled.

$x + 2, x + 3$

To find the coordinates of the holes, set each factor that was cancelled equal to $0$ , solve, and substitute back in to $x - 1$ .

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Set $x + 2$ equal to $0$ .

$x + 2 = 0$

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

Substitute $- 2$ for $x$ in $x - 1$ and simplify.

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Substitute $- 2$ for $x$ to find the $y$ coordinate of the hole.

$- 2 - 1$

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 3$

Set $x + 3$ equal to $0$ .

$x + 3 = 0$

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

Substitute $- 3$ for $x$ in $x - 1$ and simplify.

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Substitute $- 3$ for $x$ to find the $y$ coordinate of the hole.

$- 3 - 1$

$- 3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 4$

The holes in the graph are the points where any of the cancelled factors are equal to $0$ .

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

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