선형 대수 예제

$(2, 0, 1)$ , $(- 2, 1, 1)$

단계 1

외적 공식을 사용하여 두 벡터 사이의 각도를 구합니다.

$θ = \arcsin (\frac{| a⃗ \times b⃗ |}{| a⃗ | | b⃗ |})$

단계 2

외적을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

두 벡터 $a⃗$ 와 $b⃗$ 의 외적은 $ℝ^{3}$ 의 표준 단위 벡터와 주어진 벡터의 요소가 포함된 항렬식으로 작성할 수 있습니다.

$a⃗ \times b⃗ = a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{array} |$

단계 2.2

주어진 값으로 행렬식을 설정합니다.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} î & ĵ & k̂ \\ 2 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & 1 \end{array} |$

단계 2.3

$0$ 성분이 가장 많은 행이나 열을 선택합니다. $0$ 성분이 없으면 임의의 행이나 열을 선택합니다. 행 $1$ 의 모든 성분에 여인자를 곱한 후 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

해당 사인 차트를 고려합니다.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 2.3.2

지수가 사인 차트에서 $-$ 위치와 일치할 경우 여인자는 기호가 변경된 소행렬식입니다.

단계 2.3.3

$a_{11}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $1$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$

단계 2.3.4

$a_{11}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î$

단계 2.3.5

$a_{12}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $2$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

단계 2.3.6

$a_{12}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$- | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ$

단계 2.3.7

$a_{13}$ 의 소행렬식은 행 $1$ 와 열 $3$ 을 삭제한 행렬식입니다.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$

단계 2.3.8

$a_{13}$ 성분에 여인자를 곱합니다.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.3.9

항을 함께 더합니다.

$a⃗ \times b⃗ = | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} | î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.4

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a⃗ \times b⃗ = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1 \cdot 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.4.2.1.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = (0 - 1) î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.4.2.2

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} | ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.5

$| \begin{array}{c} 2 & 1 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.5.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - (- 2 \cdot 1)) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.5.2.1.2

$- (- 2 \cdot 1)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.2.1

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 - - 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.5.2.1.2.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - (2 + 2) ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.5.2.2

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} | k̂$

단계 2.6

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 2 & 1 \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 \cdot 1 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

단계 2.6.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - (- 2 \cdot 0)) k̂$

단계 2.6.2.1.2

$- (- 2 \cdot 0)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.6.2.1.2.1

$- 2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 - 0) k̂$

단계 2.6.2.1.2.2

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + (2 + 0) k̂$

단계 2.6.2.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 1 \cdot 4 ĵ + 2 k̂$

단계 2.7

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$a⃗ \times b⃗ = - î - 4 ĵ + 2 k̂$

단계 2.8

답을 다시 작성하세요.

$a⃗ \times b⃗ = (- 1, - 4, 2)$

단계 3

외적의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 4)}^{2} + 2^{2}}$

단계 3.2.2

$- 4$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 2^{2}}$

단계 3.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{1 + 16 + 4}$

단계 3.2.4

$1$ 를 $16$ 에 더합니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{17 + 4}$

단계 3.2.5

$17$ 를 $4$ 에 더합니다.

$| a⃗ \times b⃗ | = \sqrt{21}$

단계 4

$a⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| a⃗ | = \sqrt{2^{2} + 0^{2} + 1^{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0^{2} + 1^{2}}$

단계 4.2.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1^{2}}$

단계 4.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 0 + 1}$

단계 4.2.4

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{4 + 1}$

단계 4.2.5

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{5}$

단계 5

$b⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

놈(norm)은 벡터의 각 성분을 제곱하여 더한 값의 제곱근입니다.

$| b⃗ | = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}$

단계 5.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1^{2} + 1^{2}}$

단계 5.2.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1^{2}}$

단계 5.2.3

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| b⃗ | = \sqrt{4 + 1 + 1}$

단계 5.2.4

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{5 + 1}$

단계 5.2.5

$5$ 를 $1$ 에 더합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{6}$

단계 6

공식에 값을 대입합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{5} \sqrt{6}})$

단계 7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

$\sqrt{21}$ 와 $\sqrt{6}$ 을 묶어 하나의 근호로 만듭니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{21}{6}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.2

$21$ 및 $6$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

$21$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 (7)}{6}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{3 \cdot 7}{3 \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{\frac{7}{2}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$\sqrt{\frac{7}{2}}$ 을 $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.2

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.1

$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.3.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2^{1}}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.3.6.5

지수값을 계산합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7} \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.4.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{7 \cdot 2}}{2}}{\sqrt{5}})$

단계 7.3.4.2

$7$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\frac{\sqrt{14}}{2}}{\sqrt{5}})$

단계 7.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}})$

단계 7.5

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} (\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}))$

단계 7.6

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1

$\frac{1}{\sqrt{5}}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}})$

단계 7.6.2

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}})$

단계 7.6.3

$\sqrt{5}$ 를 $1$ 승 합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}})$

단계 7.6.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}})$

단계 7.6.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}})$

단계 7.6.6

${\sqrt{5}}^{2}$ 을 $5$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{5}$ 을(를) $5^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

단계 7.6.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

단계 7.6.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

단계 7.6.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}})$

단계 7.6.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5^{1}})$

단계 7.6.6.5

지수값을 계산합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5})$

단계 7.7

$\frac{\sqrt{14}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.7.1

$\frac{\sqrt{14}}{2}$ 에 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14} \sqrt{5}}{2 \cdot 5})$

단계 7.7.2

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{14 \cdot 5}}{2 \cdot 5})$

단계 7.7.3

$14$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{2 \cdot 5})$

단계 7.7.4

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$θ = \arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$

단계 7.8

$\arcsin (\frac{\sqrt{70}}{10})$ 의 값을 구합니다.

$θ = 56.78908923$

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