선형 대수 예제

$3 x + 5 y = 11$ , $x + 3 y = 13$

Step 1

연립방정식으로부터 $A X = B$ 를 구합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 11 \\ 13 \end{array}]$

Step 2

Find the inverse of the coefficient matrix.

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$| A |$ 가 $A$ 의 행렬식일 때 $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 공식을 이용하여 $2 \times 2$ 행렬의 역행렬을 구할 수 있습니다

$A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ 이면 $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

Find the determinant of $[\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}]$ .

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두 가지 표기법 모두 유효한 행렬식 표기법입니다.

$행렬식 [\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}] = | \begin{array}{c} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{array} |$

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$(3) (3) - 1 \cdot 5$

행렬식을 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$9 - 1 \cdot 5$

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$9 - 5$

$9$ 에서 $5$ 을 뺍니다.

$4$

역행렬 공식에 얻어진 값을 대입합니다.

$\frac{1}{4} [\begin{array}{c} 3 & - (5) \\ - (1) & 3 \end{array}]$

Simplify each element in the matrix.

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Rearrange $- (5)$ .

$\frac{1}{4} [\begin{array}{c} 3 & - 5 \\ - (1) & 3 \end{array}]$

Rearrange $- (1)$ .

$\frac{1}{4} [\begin{array}{c} 3 & - 5 \\ - 1 & 3 \end{array}]$

행렬의 각 원소에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{4} \cdot 3 & \frac{1}{4} \cdot - 5 \\ \frac{1}{4} \cdot - 1 & \frac{1}{4} \cdot 3 \end{array}]$

Simplify each element in the matrix.

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Rearrange $\frac{1}{4} \cdot 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \cdot - 5 \\ \frac{1}{4} \cdot - 1 & \frac{1}{4} \cdot 3 \end{array}]$

Rearrange $\frac{1}{4} \cdot - 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{5}{4} \\ \frac{1}{4} \cdot - 1 & \frac{1}{4} \cdot 3 \end{array}]$

Rearrange $\frac{1}{4} \cdot - 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \cdot 3 \end{array}]$

Rearrange $\frac{1}{4} \cdot 3$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}]$

Step 3

Left multiply both sides of the matrix equation by the inverse matrix.

$([\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 3 & 5 \\ 1 & 3 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 11 \\ 13 \end{array}]$

Step 4

Any matrix multiplied by its inverse is equal to $1$ all the time. $A \cdot A^{- 1} = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3}{4} & - \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 11 \\ 13 \end{array}]$

Step 5

식의 우변을 간단히 합니다.

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Multiply each row in the first matrix by each column in the second matrix.

$[\begin{array}{c} \frac{3}{4} \cdot 11 - \frac{5}{4} \cdot 13 \\ - \frac{1}{4} \cdot 11 + \frac{3}{4} \cdot 13 \end{array}]$

모든 식을 전개하여 행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 8 \\ 7 \end{array}]$

Step 6

Simplify the left and right side.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} - 8 \\ 7 \end{array}]$

Step 7

해를 구합니다.

$x = - 8$

$y = 7$

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