선형 대수 예제

$2 x + 4 y = 25$ , $x + 5 y = 2$

연립방정식으로부터 $A X = B$ 를 구합니다.

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array}]$

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}]$ 의 계수행렬의 역행렬을 구합니다.

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$| A |$ 가 $A$ 의 행렬식일 때 $\frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ 공식을 이용하여 $2 \times 2$ 행렬의 역행렬을 구할 수 있습니다

$A = [\begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array}]$ 이면 $A^{- 1} = \frac{1}{| A |} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$

$[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}]$ 의 행렬식은 $6$ 입니다.

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두 가지 표기법 모두 유효한 행렬식 표기법입니다.

$행렬식 [\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}] = | \begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array} |$

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$(2) (5) - 1 \cdot 4$

행렬식을 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$10 - 1 \cdot 4$

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$10 - 4$

$10$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$6$

역행렬 공식에 얻어진 값을 대입합니다.

$\frac{1}{6} [\begin{array}{c} 5 & - (4) \\ - (1) & 2 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} 5 & - (4) \\ - (1) & 2 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

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Rearrange $- (4)$ .

$\frac{1}{6} [\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - (1) & 2 \end{array}]$

Rearrange $- (1)$ .

$\frac{1}{6} [\begin{array}{c} 5 & - 4 \\ - 1 & 2 \end{array}]$

행렬의 각 원소에 $\frac{1}{6}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{6} \cdot 5 & \frac{1}{6} \cdot - 4 \\ \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} \frac{1}{6} \cdot 5 & \frac{1}{6} \cdot - 4 \\ \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

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Rearrange $\frac{1}{6} \cdot 5$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & \frac{1}{6} \cdot - 4 \\ \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

Rearrange $\frac{1}{6} \cdot - 4$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ \frac{1}{6} \cdot - 1 & \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

Rearrange $\frac{1}{6} \cdot - 1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \cdot 2 \end{array}]$

Rearrange $\frac{1}{6} \cdot 2$ .

$[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}]$

행렬 방정식 $[\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array}]$ 의 양변의 왼쪽에 역행렬 $[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}]$ 을 곱합니다.

$([\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}]) \cdot [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array}]$

어떤 행렬과 그 행렬의 역을 곱하면 항상 $1$ 이 됩니다. $A \cdot A^{- 1} = 1$ . $[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 2 & 4 \\ 1 & 5 \end{array}] = 1$ .

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array}]$

식의 우변을 간단히 합니다.

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첫번째 행렬 $[\begin{array}{c} \frac{5}{6} & - \frac{2}{3} \\ - \frac{1}{6} & \frac{1}{3} \end{array}]$ 의 각 행에 두번째 행렬 $[\begin{array}{c} 25 \\ 2 \end{array}]$ 의 각 열을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{6} \cdot 25 - \frac{2}{3} \cdot 2 \\ - \frac{1}{6} \cdot 25 + \frac{1}{3} \cdot 2 \end{array}]$

모든 식을 전개하여 행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{39}{2} \\ - \frac{7}{2} \end{array}]$

방정식의 좌변과 우변을 정리하면 $[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{39}{2} \\ - \frac{7}{2} \end{array}]$ 이 됩니다.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{39}{2} \\ - \frac{7}{2} \end{array}]$

해를 구합니다.

$x = \frac{39}{2}$

$y = - \frac{7}{2}$

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