선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 1

문제를 쉽게 표현하기 위하여 $A$ 라는 이름으로 행렬을 표시합니다.

$A = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 2

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A + (- λ I_{3}))$

Step 3

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Step 4

고유값을 단위행렬에 곱한 결과를 원래 행렬에서 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Simplify each element in the matrix.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Rearrange $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}]$

Add the corresponding elements.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} 3 - λ & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$5 + 0$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

$0 + 0$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

$7 + 0$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

$0 + 0$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & 0 - λ \end{array}]$

$0 - λ$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & - λ \end{array}]$

Step 5

Find the determinant of $[\begin{array}{c} 3 - λ & 5 & 0 \\ 7 & 5 - λ & 0 \\ 1 & 1 & - λ \end{array}]$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행렬을 작은 부분으로 나누어 행렬식을 구하기 위한 식을 세웁니다.

$p (λ) = 0 | \begin{array}{c} 7 & 5 - λ \\ 1 & 1 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

행렬에 $0$ 을 곱했으므로 행렬식은 $0$ 입니다.

$p (λ) = 0 + 0 | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 1 & 1 \end{array} | - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

행렬에 $0$ 을 곱했으므로 행렬식은 $0$ 입니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$

Find the determinant of $- λ | \begin{array}{c} 3 - λ & 5 \\ 7 & 5 - λ \end{array} |$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ ((3 - λ) (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

FOIL 계산법을 이용하여 $(3 - λ) (5 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 (5 - λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ (5 - λ) - 7 \cdot 5)$

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (3 \cdot 5 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 + 3 (- λ) - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - λ \cdot 5 - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - λ (- λ) - 7 \cdot 5)$

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot (- 1 λ \cdot λ) - 7 \cdot 5)$

Multiply $λ$ by $λ$ by adding the exponents.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot (- 1 (λ \cdot λ)) - 7 \cdot 5)$

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - 7 \cdot 5)$

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + 1 λ^{2} - 7 \cdot 5)$

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 3 λ - 5 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

$- 3 λ$ 에서 $5 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 7 \cdot 5)$

$- 7$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (15 - 8 λ + λ^{2} - 35)$

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$15$ 에서 $35$ 을 뺍니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- 8 λ + λ^{2} - 20)$

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - λ (- 8 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 20$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$p (λ) = 0 + 0 - 1 \cdot (- 8 λ \cdot λ) - λ \cdot λ^{2} - λ \cdot - 20$

Multiply $λ$ by $λ^{2}$ by adding the exponents.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$λ^{2}$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 0 + 0 - 1 \cdot (- 8 λ \cdot λ) - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 20$

$λ^{2}$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$λ$ 를 $1$ 승 합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - 1 \cdot (- 8 λ \cdot λ) - (λ^{2} λ) - λ \cdot - 20$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$p (λ) = 0 + 0 - 1 \cdot (- 8 λ \cdot λ) - λ^{2 + 1} - λ \cdot - 20$

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - 1 \cdot (- 8 λ \cdot λ) - λ^{3} - λ \cdot - 20$

$- 20$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - 1 \cdot (- 8 λ \cdot λ) - λ^{3} + 20 λ$

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Multiply $λ$ by $λ$ by adding the exponents.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = 0 + 0 - 1 \cdot (- 8 (λ \cdot λ)) - λ^{3} + 20 λ$

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + 0 - 1 \cdot (- 8 λ^{2}) - λ^{3} + 20 λ$

$- 1$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 0 + 0 + 8 λ^{2} - λ^{3} + 20 λ$

Combine the opposite terms in $0 + 0 + 8 λ^{2} - λ^{3} + 20 λ$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 0 + 8 λ^{2} - λ^{3} + 20 λ$

$0$ 를 $8 λ^{2}$ 에 더합니다.

$p (λ) = 8 λ^{2} - λ^{3} + 20 λ$

특성 다항식을 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$8 λ^{2} - λ^{3} + 20 λ$ 에서 $λ$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$8 λ^{2}$ 에서 $λ$ 를 인수분해합니다.

$p (λ) = λ (8 λ) - λ^{3} + 20 λ$

$- λ^{3}$ 에서 $λ$ 를 인수분해합니다.

$p (λ) = λ (8 λ) + λ (- λ^{2}) + 20 λ$

$20 λ$ 에서 $λ$ 를 인수분해합니다.

$p (λ) = λ (8 λ) + λ (- λ^{2}) + λ \cdot 20$

$λ (8 λ) + λ (- λ^{2})$ 에서 $λ$ 를 인수분해합니다.

$p (λ) = λ (8 λ - λ^{2}) + λ \cdot 20$

$λ (8 λ - λ^{2}) + λ \cdot 20$ 에서 $λ$ 를 인수분해합니다.

$p (λ) = λ (8 λ - λ^{2} + 20)$

$u = λ$ 로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 $λ$ 를 $u$ 로 바꿉니다.

$p (λ) = λ (8 u - u^{2} + 20)$

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

항을 다시 배열합니다.

$p (λ) = λ (- u^{2} + 8 u + 20)$

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot 20 = - 20$ 이고 합이 $b = 8$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$8 u$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$p (λ) = λ (- u^{2} + 8 (u) + 20)$

$8$ 를 $- 2$ + $10$ 로 다시 씁니다.

$p (λ) = λ (- u^{2} + (- 2 + 10) u + 20)$

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = λ (- u^{2} - 2 u + 10 u + 20)$

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$p (λ) = λ ((- u^{2} - 2 u) + 10 u + 20)$

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$p (λ) = λ (u (- u - 2) - 10 (- u - 2))$

최대공약수 $- u - 2$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$p (λ) = λ ((- u - 2) (u - 10))$

인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$u$ 를 모두 $λ$ 로 바꿉니다.

$p (λ) = λ ((- λ - 2) (λ - 10))$

불필요한 괄호를 제거합니다.

$p (λ) = λ (- λ - 2) (λ - 10)$

Step 6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$λ (- λ - 2) (λ - 10) = 0$

Step 7

$λ$ 에 대해 풀어 $λ (- λ - 2) (λ - 10) = 0$ 의 근을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ = 0$

$- λ - 2 = 0$

$λ - 10 = 0$

Set $λ$ equal to $0$ .

$λ = 0$

$- λ - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Set $- λ - 2$ equal to $0$ .

$- λ - 2 = 0$

$- λ - 2 = 0$ 을 $λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$- λ = 2$

Divide each term in $- λ = 2$ by $- 1$ and simplify.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- λ = 2$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- λ}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{λ}{1} = \frac{2}{- 1}$

$λ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$λ = \frac{2}{- 1}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$2$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$λ = - 2$

$λ - 10$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Set $λ - 10$ equal to $0$ .

$λ - 10 = 0$

방정식의 양변에 $10$ 를 더합니다.

$λ = 10$

$λ (- λ - 2) (λ - 10) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = 0, - 2, 10$

Step 8

$λ = 0$ 의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.

$ε_{A} (0) = N (A - λ I_{3})$

Step 9

얻어진 값을 공식에 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Step 10

행렬 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행렬의 각 원소에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Simplify each element in the matrix.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Rearrange $0 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $0 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $0 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $0 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $0 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $0 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $0 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $0 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $0 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Add the corresponding elements.

$[\begin{array}{c} 3 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} 3 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

$5 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

$0 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

$7 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

$5 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

$0 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 0 \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 0 \end{array}]$

$0 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

Step 11

행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} & \frac{1}{3} R_{1} \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

행연산 $R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{3}) \cdot (3) & (\frac{1}{3}) \cdot (5) & (\frac{1}{3}) \cdot (0) \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{3} R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ - 7 \cdot R_{1} + R_{2} & - 7 \cdot R_{1} + R_{2} & - 7 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ (- 7) \cdot (1) + 7 & (- 7) \cdot (\frac{5}{3}) + 5 & (- 7) \cdot (0) + 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (\frac{5}{3}) + 1 & (- 1) \cdot (0) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{20}{3} & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - \frac{3}{20} R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - \frac{3}{20} R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ - \frac{3}{20} R_{2} & - \frac{3}{20} R_{2} & - \frac{3}{20} R_{2} \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{3}{20} R_{2}$

행연산 $R_{2} = - \frac{3}{20} R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ (- \frac{3}{20}) \cdot (0) & (- \frac{3}{20}) \cdot (- \frac{20}{3}) & (- \frac{3}{20}) \cdot (0) \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

$R_{2} = - \frac{3}{20} R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{5}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - \frac{5}{3} R_{2} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - \frac{5}{3} R_{2} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{5}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{5}{3} R_{2} + R_{1} & - \frac{5}{3} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{5}{3} R_{2} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = - \frac{5}{3} R_{2} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- \frac{5}{3}) \cdot (0) + 1 & (- \frac{5}{3}) \cdot (1) + \frac{5}{3} & (- \frac{5}{3}) \cdot (0) + 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{5}{3} R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - \frac{2}{3} & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = \frac{2}{3} R_{2} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = \frac{2}{3} R_{2} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{2}{3} R_{2} + R_{3} & \frac{2}{3} R_{2} + R_{3} & \frac{2}{3} R_{2} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{2}{3} R_{2} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = \frac{2}{3} R_{2} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 0 & (\frac{2}{3}) \cdot (1) - \frac{2}{3} & (\frac{2}{3}) \cdot (0) + 0 \end{array}]$

$R_{3} = \frac{2}{3} R_{2} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Step 12

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x_{1} = 0$

$x_{2} = 0$

Step 13

이 식이 연립방정식의 해집합입니다.

${(0, 0, x_{3}) | x_{3} \in ℝ}$

Step 14

각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ x_{3} \end{array}]$

Step 15

벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]$

Step 16

집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]}$

Step 17

$λ = - 2$ 의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.

$ε_{A} (- 2) = N (A - λ I_{3})$

Step 18

얻어진 값을 공식에 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Step 19

행렬 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행렬의 각 원소에 $2$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Simplify each element in the matrix.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Rearrange $2 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $2 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $2 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $2 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 1 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $2 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $2 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $2 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $2 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $2 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Add the corresponding elements.

$[\begin{array}{c} 3 + 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} 3 + 2 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3 + 2$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

$5 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

$0 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

$7 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 5 + 2 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

$5 + 2$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

$0 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 + 2 \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 0 + 2 \end{array}]$

$0 + 2$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 5 & 5 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

Step 20

행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = \frac{1}{5} R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = \frac{1}{5} R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1}{5} R_{1} & \frac{1}{5} R_{1} & \frac{1}{5} R_{1} \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{5} R_{1}$

행연산 $R_{1} = \frac{1}{5} R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{1}{5}) \cdot (5) & (\frac{1}{5}) \cdot (5) & (\frac{1}{5}) \cdot (0) \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{1}{5} R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 7 & 7 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ - 7 \cdot R_{1} + R_{2} & - 7 \cdot R_{1} + R_{2} & - 7 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ (- 7) \cdot (1) + 7 & (- 7) \cdot (1) + 7 & (- 7) \cdot (0) + 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

$R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (0) + 2 \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} & \frac{1}{2} R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$

행연산 $R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (0) & (\frac{1}{2}) \cdot (2) \end{array}]$

$R_{3} = \frac{1}{2} R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Step 21

0이 제자리에 배치되도록 $3$ 행과 $2$ 행을 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

$R_{3} \leftrightarrow R$

Step 22

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x_{1} + x_{2} = 0$

$x_{3} = 0$

Step 23

이 식이 연립방정식의 해집합입니다.

${(- x_{2}, x_{2}, 0) | x_{2} \in ℝ}$

Step 24

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{2} \\ x_{2} \\ 0 \end{array}]$

Step 25

벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]$

Step 26

집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]}$

Step 27

$λ = 10$ 의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.

$ε_{A} (10) = N (A - λ I_{3})$

Step 28

얻어진 값을 공식에 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] - 10 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Step 29

행렬 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행렬의 각 원소에 $- 10$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Simplify each element in the matrix.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Rearrange $- 10 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 10 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 10 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 10 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 1 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 10 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & - 10 \cdot 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 10 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 10 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & - 10 \cdot 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 10 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 10 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 3 & 5 & 0 \\ 7 & 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 10 & 0 & 0 \\ 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 \end{array}]$

Add the corresponding elements.

$[\begin{array}{c} 3 - 10 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} 3 - 10 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3 - 10$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 + 0 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

$5 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 + 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

$0 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 + 0 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

$7 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & 5 - 10 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

$5 - 10$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

$0 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 + 0 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 + 0 & 0 - 10 \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & 0 - 10 \end{array}]$

$0 - 10$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 7 & 5 & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

Step 30

행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - \frac{1}{7} R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - \frac{1}{7} R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{7} R_{1} & - \frac{1}{7} R_{1} & - \frac{1}{7} R_{1} \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{7} R_{1}$

행연산 $R_{1} = - \frac{1}{7} R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{7}) \cdot (- 7) & (- \frac{1}{7}) \cdot (5) & (- \frac{1}{7}) \cdot (0) \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{7} R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ 7 & - 5 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ - 7 \cdot R_{1} + R_{2} & - 7 \cdot R_{1} + R_{2} & - 7 \cdot R_{1} + R_{2} \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

$R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ (- 7) \cdot (1) + 7 & (- 7) \cdot (- \frac{5}{7}) - 5 & (- 7) \cdot (0) + 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

$R_{2} = - 7 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & - 10 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 행 연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{3}$ (행 $3$ )을 행연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} & - 1 \cdot R_{1} + R_{3} \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

행연산 $R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$ 에 대하여 $R_{3}$ (행 $3$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- \frac{5}{7}) + 1 & (- 1) \cdot (0) - 10 \end{array}]$

$R_{3} = - 1 \cdot R_{1} + R_{3}$

$R_{3}$ ( $3$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 \end{array}]$

0이 제자리에 배치되도록 $3$ 행과 $2$ 행을 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ 0 & \frac{12}{7} & - 10 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

$R_{3} \leftrightarrow R$

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = \frac{7}{12} R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = \frac{7}{12} R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ \frac{7}{12} R_{2} & \frac{7}{12} R_{2} & \frac{7}{12} R_{2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{7}{12} R_{2}$

행연산 $R_{2} = \frac{7}{12} R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ (\frac{7}{12}) \cdot (0) & (\frac{7}{12}) \cdot (\frac{12}{7}) & (\frac{7}{12}) \cdot (- 10) \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

$R_{2} = \frac{7}{12} R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{5}{7} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = \frac{5}{7} R_{2} + R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = \frac{5}{7} R_{2} + R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} \frac{5}{7} R_{2} + R_{1} & \frac{5}{7} R_{2} + R_{1} & \frac{5}{7} R_{2} + R_{1} \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{5}{7} R_{2} + R_{1}$

행연산 $R_{1} = \frac{5}{7} R_{2} + R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (\frac{5}{7}) \cdot (0) + 1 & (\frac{5}{7}) \cdot (1) - \frac{5}{7} & (\frac{5}{7}) \cdot (- \frac{35}{6}) + 0 \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

$R_{1} = \frac{5}{7} R_{2} + R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{25}{6} \\ 0 & 1 & - \frac{35}{6} \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Step 31

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x_{1} - \frac{25 x_{3}}{6} = 0$

$x_{2} - \frac{35 x_{3}}{6} = 0$

Step 32

이 식이 연립방정식의 해집합입니다.

${(\frac{25 x_{3}}{6}, \frac{35 x_{3}}{6}, x_{3}) | x_{3} \in ℝ}$

Step 33

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{25 x_{3}}{6} \\ \frac{35 x_{3}}{6} \\ x_{3} \end{array}]$

Step 34

벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] = x_{3} [\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]$

Step 35

집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 36

$A$ 의 고유공간은 각 고유값에 대한 벡터 공간의 합집합입니다.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} \frac{25}{6} \\ \frac{35}{6} \\ 1 \end{array}]}$

Step 37

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