선형 대수 예제

고유벡터/고유공간 구하기
Step 1
문제를 쉽게 표현하기 위하여 라는 이름으로 행렬을 표시합니다.
Step 2
특성방정식 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.
Step 3
알고 있는 값을 공식에 대입합니다.
Step 4
고유값을 단위행렬에 곱한 결과를 원래 행렬에서 뺍니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
Simplify each element in the matrix.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Add the corresponding elements.
행렬 의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
Step 5
Find the determinant of .
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행렬을 작은 부분으로 나누어 행렬식을 구하기 위한 식을 세웁니다.
행렬에 을 곱했으므로 행렬식은 입니다.
행렬에 을 곱했으므로 행렬식은 입니다.
Find the determinant of .
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행렬의 행렬식은 공식을 이용해 계산합니다.
행렬식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
FOIL 계산법을 이용하여 를 전개합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
분배 법칙을 적용합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
분배 법칙을 적용합니다.
동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
을 곱합니다.
을 곱합니다.
을 곱합니다.
Rewrite using the commutative property of multiplication.
Multiply by by adding the exponents.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
를 옮깁니다.
을 곱합니다.
을 곱합니다.
을 곱합니다.
에서 을 뺍니다.
을 곱합니다.
모두 곱해 식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
에서 을 뺍니다.
분배 법칙을 적용합니다.
간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
Rewrite using the commutative property of multiplication.
Multiply by by adding the exponents.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
를 옮깁니다.
을 곱합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
승 합니다.
지수 법칙 을 이용하여 지수를 합칩니다.
에 더합니다.
을 곱합니다.
각 항을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
Multiply by by adding the exponents.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
를 옮깁니다.
을 곱합니다.
을 곱합니다.
Combine the opposite terms in .
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
에 더합니다.
에 더합니다.
특성 다항식을 인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
에서 를 인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
에서 를 인수분해합니다.
로 정의합니다. 식에 나타나는 모든 로 바꿉니다.
공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
항을 다시 배열합니다.
형태의 다항식에 대해 곱이 이고 합이 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
에서 를 인수분해합니다.
+ 로 다시 씁니다.
분배 법칙을 적용합니다.
각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.
각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.
최대공약수 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.
인수분해합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
를 모두 로 바꿉니다.
불필요한 괄호를 제거합니다.
Step 6
특성다항식이 이 되도록 하여 고유값 를 구합니다.
Step 7
에 대해 풀어 의 근을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
방정식 좌변의 한 인수가 이면 전체 식은 이 됩니다.
Set equal to .
가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
Set equal to .
에 대해 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
방정식의 양변에 를 더합니다.
Divide each term in by and simplify.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
의 각 항을 로 나눕니다.
좌변을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.
로 나눕니다.
우변을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
로 나눕니다.
가 되도록 하고 에 대해 식을 풉니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
Set equal to .
방정식의 양변에 를 더합니다.
을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.
Step 8
의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.
Step 9
얻어진 값을 공식에 대입합니다.
Step 10
행렬 수식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
Simplify each element in the matrix.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Add the corresponding elements.
행렬 의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
Step 11
행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
Step 12
결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.
Step 13
이 식이 연립방정식의 해집합입니다.
Step 14
각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.
Step 15
벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.
Step 16
집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.
Step 17
의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.
Step 18
얻어진 값을 공식에 대입합니다.
Step 19
행렬 수식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
Simplify each element in the matrix.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Add the corresponding elements.
행렬 의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
Step 20
행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
Step 21
0이 제자리에 배치되도록 행과 행을 바꿉니다.
Step 22
결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.
Step 23
이 식이 연립방정식의 해집합입니다.
Step 24
각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.
Step 25
벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.
Step 26
집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.
Step 27
의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.
Step 28
얻어진 값을 공식에 대입합니다.
Step 29
행렬 수식을 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행렬의 각 원소에 을 곱합니다.
Simplify each element in the matrix.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Rearrange .
Add the corresponding elements.
행렬 의 각 원소를 간단히 합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
을 간단히 합니다.
Step 30
행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
0이 제자리에 배치되도록 행과 행을 바꿉니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
행의 일부 원소를 로 변환하기 위하여 (행 )에 행 연산 을 실행합니다.
자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...
행의 일부 원소를 원하는 값인 로 변환하기 위하여 (행 )을 행연산 로 바꿉니다.
행연산 에 대하여 (행 )에 원소의 실제값을 대입합니다.
( 행)을 간단히 합니다.
Step 31
결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.
Step 32
이 식이 연립방정식의 해집합입니다.
Step 33
각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.
Step 34
벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.
Step 35
집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.
Step 36
의 고유공간은 각 고유값에 대한 벡터 공간의 합집합입니다.
Step 37
문제를 입력하세요
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