선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$

문제를 쉽게 표현하기 위하여 $A$ 라는 이름으로 행렬을 표시합니다.

$A = [\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A + (- λ I_{2}))$

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

고유값을 단위행렬에 곱한 결과를 원래 행렬에서 뺍니다.

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행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

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Rearrange $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Add the corresponding elements of $[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$ to each element of $[\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ + 6 & 0 + 8 \\ 0 + 2 & - λ + 5 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - λ + 6 & 0 + 8 \\ 0 + 2 & - λ + 5 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

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$0 + 8$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ + 6 & 8 \\ 0 + 2 & - λ + 5 \end{array}]$

$0 + 2$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ + 6 & 8 \\ 2 & - λ + 5 \end{array}]$

$[\begin{array}{c} - λ + 6 & 8 \\ 2 & - λ + 5 \end{array}]$ 의 행렬식은 $λ^{2} - 11 λ + 14$ 입니다.

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두 가지 표기법 모두 유효한 행렬식 표기법입니다.

$행렬식 [\begin{array}{c} - λ + 6 & 8 \\ 2 & - λ + 5 \end{array}] = [\begin{array}{c} - λ + 6 & 8 \\ 2 & - λ + 5 \end{array}]$

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (- λ + 6) (- λ + 5) - 2 \cdot 8$

행렬식을 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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FOIL 계산법을 이용하여 $(- λ + 6) (- λ + 5)$ 를 전개합니다.

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분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - λ (- λ + 5) + 6 (- λ + 5) - 2 \cdot 8$

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - λ (- λ) - λ \cdot 5 + 6 (- λ + 5) - 2 \cdot 8$

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - λ (- λ) - λ \cdot 5 + 6 (- λ) + 6 \cdot 5 - 2 \cdot 8$

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - λ \cdot 5 + 6 (- λ) + 6 \cdot 5 - 2 \cdot 8$

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 1 λ^{2} - λ \cdot 5 + 6 (- λ) + 6 \cdot 5 - 2 \cdot 8$

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - λ \cdot 5 + 6 (- λ) + 6 \cdot 5 - 2 \cdot 8$

$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6 (- λ) + 6 \cdot 5 - 2 \cdot 8$

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 6 λ + 6 \cdot 5 - 2 \cdot 8$

$6$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 6 λ + 30 - 2 \cdot 8$

$- 5 λ$ 에서 $6 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = λ^{2} - 11 λ + 30 - 2 \cdot 8$

$- 2$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 11 λ + 30 - 16$

$30$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$p (λ) = λ^{2} - 11 λ + 14$

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$λ^{2} - 11 λ + 14 = 0$

$L$ 에 대해 식을 풉니다.

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근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = - 11$ , $c = 14$ 을 대입하여 $λ$ 를 구합니다.

$\frac{11 \pm \sqrt{{(- 11)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 14)}}{2 \cdot 1}$

간단히 합니다.

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분자를 간단히 합니다.

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$- 11$ 를 $2$ 승 합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot (1 \cdot 14)}}{2 \cdot 1}$

$14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 56}}{2 \cdot 1}$

$121$ 에서 $56$ 을 뺍니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2}$

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $+$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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분자를 간단히 합니다.

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$- 11$ 를 $2$ 승 합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot (1 \cdot 14)}}{2 \cdot 1}$

$14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 56}}{2 \cdot 1}$

$121$ 에서 $56$ 을 뺍니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2}$

$\pm$ 을 $+$ 로 바꿉니다.

$λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$

수식을 간단히 하여 $\pm$ 의 $-$ 부분에 대해 식을 풉니다.

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분자를 간단히 합니다.

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$- 11$ 를 $2$ 승 합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot (1 \cdot 14)}}{2 \cdot 1}$

$14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 4 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

$- 4$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 56}}{2 \cdot 1}$

$121$ 에서 $56$ 을 뺍니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{11 \pm \sqrt{65}}{2}$

$\pm$ 을 $-$ 로 바꿉니다.

$λ = \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}, \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$

$λ = \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ 의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.

$ε_{A} (\frac{11 + \sqrt{65}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

얻어진 값을 공식에 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - \frac{11 + \sqrt{65}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

행렬 수식을 간단히 합니다.

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행렬의 각 원소에 $- \frac{11 + \sqrt{65}}{2}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

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Rearrange $- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Add the corresponding elements of $[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$ to each element of $[\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} + 6 & 0 + 8 \\ 0 + 2 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} + 5 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} + 6 & 0 + 8 \\ 0 + 2 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} + 5 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} + 6$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 0 + 8 \\ 0 + 2 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} + 5 \end{array}]$

$0 + 8$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 0 + 2 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} + 5 \end{array}]$

$0 + 2$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & - \frac{11 + \sqrt{65}}{2} + 5 \end{array}]$

$- \frac{11 + \sqrt{65}}{2} + 5$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.

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행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - \frac{1 + \sqrt{65}}{32} R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - \frac{1 + \sqrt{65}}{32} R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 + \sqrt{65}}{32} R_{1} & - \frac{1 + \sqrt{65}}{32} R_{1} \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1 + \sqrt{65}}{32} R_{1}$

행연산 $R_{1} = - \frac{1 + \sqrt{65}}{32} R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- \frac{1 + \sqrt{65}}{32}) \cdot (\frac{1 - \sqrt{65}}{2}) & (- \frac{1 + \sqrt{65}}{32}) \cdot (8) \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1 + \sqrt{65}}{32} R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} \\ 2 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (- \frac{1 + \sqrt{65}}{4}) - \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 + \sqrt{65}}{4} \\ 0 & 0 \end{array}]$

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x_{1} - \frac{(1 + \sqrt{65}) x_{2}}{4} = 0$

이 식이 연립방정식의 해집합입니다.

${(\frac{x_{2} (1 + \sqrt{65})}{4}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{x_{2} (1 + \sqrt{65})}{4} \\ x_{2} \end{array}]$

벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]$

집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

$λ = \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ 의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.

$ε_{A} (\frac{11 - \sqrt{65}}{2}) = N (A - λ I_{2})$

얻어진 값을 공식에 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] - \frac{11 - \sqrt{65}}{2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]}$

행렬 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행렬의 각 원소에 $- \frac{11 - \sqrt{65}}{2}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Rearrange $- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}] + [\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

Add the corresponding elements of $[\begin{array}{c} 6 & 8 \\ 2 & 5 \end{array}]$ to each element of $[\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} & 0 \\ 0 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} + 6 & 0 + 8 \\ 0 + 2 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} + 5 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} + 6 & 0 + 8 \\ 0 + 2 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} + 5 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} + 6$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 0 + 8 \\ 0 + 2 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} + 5 \end{array}]$

$0 + 8$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 0 + 2 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} + 5 \end{array}]$

$0 + 2$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & - \frac{11 - \sqrt{65}}{2} + 5 \end{array}]$

$- \frac{11 - \sqrt{65}}{2} + 5$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{2} & 8 \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - \frac{1 - \sqrt{65}}{32} R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - \frac{1 - \sqrt{65}}{32} R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1 - \sqrt{65}}{32} R_{1} & - \frac{1 - \sqrt{65}}{32} R_{1} \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1 - \sqrt{65}}{32} R_{1}$

행연산 $R_{1} = - \frac{1 - \sqrt{65}}{32} R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- \frac{1 - \sqrt{65}}{32}) \cdot (\frac{1 + \sqrt{65}}{2}) & (- \frac{1 - \sqrt{65}}{32}) \cdot (8) \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1 - \sqrt{65}}{32} R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} \\ 2 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} \\ - 2 \cdot R_{1} + R_{2} & - 2 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} \\ (- 2) \cdot (1) + 2 & (- 2) \cdot (- \frac{1 - \sqrt{65}}{4}) - \frac{1 - \sqrt{65}}{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 2 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1 - \sqrt{65}}{4} \\ 0 & 0 \end{array}]$

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x_{1} - \frac{(1 - \sqrt{65}) x_{2}}{4} = 0$

이 식이 연립방정식의 해집합입니다.

${(\frac{x_{2} (1 - \sqrt{65})}{4}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{x_{2} (1 - \sqrt{65})}{4} \\ x_{2} \end{array}]$

벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]$

집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

$A$ 의 고유공간은 각 고유값에 대한 벡터 공간의 합집합입니다.

${[\begin{array}{c} \frac{1 + \sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} \frac{1 - \sqrt{65}}{4} \\ 1 \end{array}]}$

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