선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$

문제를 쉽게 표현하기 위하여 $A$ 라는 이름으로 행렬을 표시합니다.

$A = [\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A + (- λ I_{2}))$

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

고유값을 단위행렬에 곱한 결과를 원래 행렬에서 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Rearrange $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Add the corresponding elements of $[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$ to each element of $[\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ - 1 & 0 + 2 \\ 0 - 6 & - λ + 6 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - λ - 1 & 0 + 2 \\ 0 - 6 & - λ + 6 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$0 + 2$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ - 1 & 2 \\ 0 - 6 & - λ + 6 \end{array}]$

$0 - 6$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ - 1 & 2 \\ - 6 & - λ + 6 \end{array}]$

$[\begin{array}{c} - λ - 1 & 2 \\ - 6 & - λ + 6 \end{array}]$ 의 행렬식은 $λ^{2} - 5 λ + 6$ 입니다.

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두 가지 표기법 모두 유효한 행렬식 표기법입니다.

$행렬식 [\begin{array}{c} - L - 1 & 2 \\ - 6 & - L + 6 \end{array}] = | \begin{array}{c} - L - 1 & 2 \\ - 6 & - L + 6 \end{array} |$

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (- λ - 1) (- λ + 6) + 6 \cdot 2$

행렬식을 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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FOIL 계산법을 이용하여 $(- λ - 1) (- λ + 6)$ 를 전개합니다.

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분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - λ (- λ + 6) - 1 (- λ + 6) + 6 \cdot 2$

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - λ (- λ) - λ \cdot 6 - 1 (- λ + 6) + 6 \cdot 2$

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - λ (- λ) - λ \cdot 6 - 1 (- λ) - 1 \cdot 6 + 6 \cdot 2$

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - λ \cdot 6 - 1 (- λ) - 1 \cdot 6 + 6 \cdot 2$

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 1 λ^{2} - λ \cdot 6 - 1 (- λ) - 1 \cdot 6 + 6 \cdot 2$

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - λ \cdot 6 - 1 (- λ) - 1 \cdot 6 + 6 \cdot 2$

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ - 1 (- λ) - 1 \cdot 6 + 6 \cdot 2$

$- 1 (- λ)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + 1 λ - 1 \cdot 6 + 6 \cdot 2$

$λ$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + λ - 1 \cdot 6 + 6 \cdot 2$

$- 1$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 6 λ + λ - 6 + 6 \cdot 2$

$- 6 λ$ 를 $λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 6 + 6 \cdot 2$

$6$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ - 6 + 12$

$- 6$ 를 $12$ 에 더합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$

AC 방법을 이용하여 $λ^{2} - 5 λ + 6$ 를 인수분해합니다.

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$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $6$ 이고 합은 $- 5$ 입니다.

$- 3, - 2$

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$p (λ) = (λ - 3) (λ - 2)$

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$

$L$ 에 대해 식을 풉니다.

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방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ - 3 = 0$

$λ - 2 = 0$

첫번째 인수가 $0$ 이 되도록 하여 식을 풉니다.

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첫번째 인수를 $0$ 으로 둡니다.

$λ - 3 = 0$

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$λ = 3$

다음 인수를 $0$ 이 되도록 하여 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

다음 인수를 $0$ 으로 둡니다.

$λ - 2 = 0$

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$λ = 2$

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = 3, 2$

$λ = 3$ 의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.

$ε_{A} (3) = N (A - λ I_{2})$

얻어진 값을 공식에 대입합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

행렬 수식을 간단히 합니다.

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행렬의 각 원소에 $- 3$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Rearrange $- 3 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 3 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 3 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 3 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

Add the corresponding elements of $[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$ to each element of $[\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - 3 - 1 & 0 + 2 \\ 0 - 6 & - 3 + 6 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - 3 - 1 & 0 + 2 \\ 0 - 6 & - 3 + 6 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 3 - 1$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 4 & 0 + 2 \\ 0 - 6 & - 3 + 6 \end{array}]$

$0 + 2$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ 0 - 6 & - 3 + 6 \end{array}]$

$0 - 6$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 & - 3 + 6 \end{array}]$

$- 3 + 6$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 & 3 \end{array}]$

행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - \frac{1}{4} R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - \frac{1}{4} R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} R_{1} & - \frac{1}{4} R_{1} \\ - 6 & 3 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{4} R_{1}$

행연산 $R_{1} = - \frac{1}{4} R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{4}) \cdot (- 4) & (- \frac{1}{4}) \cdot (2) \\ - 6 & 3 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{4} R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} \\ - 6 & 3 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} \\ 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} \\ (6) \cdot (1) - 6 & (6) \cdot (- \frac{1}{2}) + 3 \end{array}]$

$R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} \\ 0 & 0 \end{array}]$

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x_{1} - \frac{x_{2}}{2} = 0$

이 식이 연립방정식의 해집합입니다.

${(\frac{x_{2}}{2}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{x_{2}}{2} \\ x_{2} \end{array}]$

벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

$λ = 2$ 의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.

$ε_{A} (2) = N (A - λ I_{2})$

얻어진 값을 공식에 대입합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

행렬 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행렬의 각 원소에 $- 2$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Rearrange $- 2 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 2 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 2 \cdot 0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- 2 \cdot 1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Add the corresponding elements of $[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$ to each element of $[\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} - 2 - 1 & 0 + 2 \\ 0 - 6 & - 2 + 6 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} - 2 - 1 & 0 + 2 \\ 0 - 6 & - 2 + 6 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 2 - 1$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 3 & 0 + 2 \\ 0 - 6 & - 2 + 6 \end{array}]$

$0 + 2$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ 0 - 6 & - 2 + 6 \end{array}]$

$0 - 6$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 & - 2 + 6 \end{array}]$

$- 2 + 6$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 & 4 \end{array}]$

행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} R_{1} & - \frac{1}{3} R_{1} \\ - 6 & 4 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{3} R_{1}$

행연산 $R_{1} = - \frac{1}{3} R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- \frac{1}{3}) \cdot (- 3) & (- \frac{1}{3}) \cdot (2) \\ - 6 & 4 \end{array}]$

$R_{1} = - \frac{1}{3} R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ - 6 & 4 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 6 \cdot R_{1} + R_{2} & 6 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ (6) \cdot (1) - 6 & (6) \cdot (- \frac{2}{3}) + 4 \end{array}]$

$R_{2} = 6 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} \\ 0 & 0 \end{array}]$

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x_{1} - \frac{2 x_{2}}{3} = 0$

이 식이 연립방정식의 해집합입니다.

${(\frac{2 x_{2}}{3}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 x_{2}}{3} \\ x_{2} \end{array}]$

벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

$A$ 의 고유공간은 각 고유값에 대한 벡터 공간의 합집합입니다.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

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