미적분 예제

$\int \sqrt{1 - 4 x^{2}} d x$

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = \frac{1}{2} \sin (t)$ 라고 하면 $d x = \frac{1}{2} \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $\frac{1}{2} \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}} (\frac{1}{2} \cos (t)) d t$

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\sqrt{1 - 4 {(\frac{1}{2} \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (t)$ 을 묶습니다.

$\int \sqrt{1 - 4 {(\frac{\sin (t)}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \cos (t)) d t$

$\frac{\sin (t)}{2}$ 에 곱의 법칙을 적용합니다.

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{2^{2}}} (\frac{1}{2} \cos (t)) d t$

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \sqrt{1 - 4 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} (\frac{1}{2} \cos (t)) d t$

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{1 + 4 (- 1) \frac{\sin^{2} (t)}{4}} (\frac{1}{2} \cos (t)) d t$

공약수로 약분합니다.

$\int \sqrt{1 + 4 \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (t)}{4}} (\frac{1}{2} \cos (t)) d t$

수식을 다시 씁니다.

$\int \sqrt{1 - 1 \sin^{2} (t)} (\frac{1}{2} \cos (t)) d t$

$- 1 \sin^{2} (t)$ 을 $- \sin^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} (\frac{1}{2} \cos (t)) d t$

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} (\frac{1}{2} \cos (t)) d t$

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \cos (t) (\frac{1}{2} \cos (t)) d t$

간단히 합니다.

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$\frac{1}{2}$ 와 $\cos (t)$ 을 묶습니다.

$\int \cos (t) \frac{\cos (t)}{2} d t$

$\cos (t)$ 와 $\frac{\cos (t)}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\cos (t) \cos (t)}{2} d t$

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos (t)}{2} d t$

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)}{2} d t$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{{\cos (t)}^{1 + 1}}{2} d t$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{2} d t$

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $t$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $t$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

간단히 합니다.

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$\frac{1}{2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 를 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (\int 1 d t + \int \cos (2 t) d t)$

Since $1$ is constant with respect to $t$ , move $1$ out of the integral.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

$u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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Let $u = 2 t$ . Find $\frac{d u}{d t}$ .

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다시 씁니다.

$\frac{2}{1}$

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

Rewrite the problem using $u$ and $d u$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $u$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Substitute back in for each integration substitution variable.

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$t$ 를 모두 $\arcsin (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

$t$ 를 모두 $\arcsin (2 x)$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (2 x))) + C$

답을 간단히 합니다.

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$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 \arcsin (2 x))$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\arcsin (2 x) + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}) + C$

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

$\frac{1}{4}$ 와 $\arcsin (2 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ 을 곱합니다.

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$\frac{1}{4}$ 와 $\frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{2}$ 를 곱합니다.

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{4 \cdot 2} + C$

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{\arcsin (2 x)}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (2 x))}{8} + C$

항을 다시 배열합니다.

$\frac{1}{4} \arcsin (2 x) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (2 x)) + C$

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