미적분 예제

$\int \sqrt{9 - x^{2}} d x$

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 3 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 3 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $3 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

$\int \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

인수분해하여 간단히 합니다.

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$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

$- 9 \sin^{2} (t)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

$9 \cos^{2} (t)$ 을 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int 3 \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int 9 \cos (t) \cos (t) d t$

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int 9 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int 9 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int 9 \cos^{2} (t) d t$

Since $9$ is constant with respect to $t$ , move $9$ out of the integral.

$9 \int \cos^{2} (t) d t$

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (t)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$9 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $t$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$9 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

$\frac{1}{2}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Split the single integral into multiple integrals.

$\frac{9}{2} (\int 1 d t + \int \cos (2 t) d t)$

Since $1$ is constant with respect to $t$ , move $1$ out of the integral.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

$u = 2 t$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Let $u = 2 t$ . Find $\frac{d u}{d t}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

다시 씁니다.

$\frac{2}{1}$

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

Rewrite the problem using $u$ and $d u$ .

$\frac{9}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $u$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$\frac{9}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

간단히 합니다.

$\frac{9}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 로 바꿉니다.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

$u$ 를 모두 $2 t$ 로 바꿉니다.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 로 바꿉니다.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

답을 간단히 합니다.

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$\frac{1}{2}$ 와 $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} (\arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{x}{3}) + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

$\frac{9}{2}$ 와 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 을 묶습니다.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2} + C$

$\frac{9}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\frac{9}{2}$ 와 $\frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2}$ 를 곱합니다.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{2 \cdot 2} + C$

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 \arcsin (\frac{x}{3})}{2} + \frac{9 \sin (2 \arcsin (\frac{x}{3}))}{4} + C$

항을 다시 배열합니다.

$\frac{9}{2} \arcsin (\frac{1}{3} x) + \frac{9}{4} \sin (2 \arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$

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