미적분 예제

$\int x \sin (4 x) d x$

$u = x$ 이고 $d v = \sin (4 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (- \frac{1}{4} \cos (4 x)) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

분수를 조합합니다.

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$\cos (4 x)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$x (- \frac{\cos (4 x)}{4}) - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

$x$ 와 $\frac{\cos (4 x)}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{1}{4} \cos (4 x) d x$

$\cos (4 x)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - \int - \frac{\cos (4 x)}{4} d x$

Since $- 1$ is constant with respect to $x$ , move $- 1$ out of the integral.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} - - \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x$

곱합니다.

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$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + 1 \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x$

$\int \frac{\cos (4 x)}{4} d x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \int \frac{\cos (4 x)}{4} d x$

Since $\frac{1}{4}$ is constant with respect to $x$ , move $\frac{1}{4}$ out of the integral.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (4 x) d x$

$u = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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Let $u = 4 x$ . Find $\frac{d u}{d x}$ .

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다시 씁니다.

$\frac{4}{1}$

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$4$

Rewrite the problem using $u$ and $d u$ .

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \cos (u) \frac{1}{4} d u$

$\cos (u)$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} \int \frac{\cos (u)}{4} d u$

Since $\frac{1}{4}$ is constant with respect to $u$ , move $\frac{1}{4}$ out of the integral.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int \cos (u) d u)$

분수를 조합합니다.

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$\frac{1}{4}$ 와 $\frac{1}{4}$ 를 곱합니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{4 \cdot 4} \int \cos (u) d u$

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} \int \cos (u) d u$

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$

$- \frac{x \cos (4 x)}{4} + \frac{1}{16} (\sin (u) + C)$ 을 $- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (u) + C$

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{4} x \cos (4 x) + \frac{1}{16} \sin (4 x) + C$

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