미적분 예제

$\int x \cos (3 x) d x$

$u = x$ 이고 $d v = \cos (3 x)$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

간단히 합니다.

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$\frac{1}{3}$ 와 $\sin (3 x)$ 을 묶습니다.

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

$x$ 와 $\frac{\sin (3 x)}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

$\frac{1}{3}$ 와 $\sin (3 x)$ 을 묶습니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{\sin (3 x)}{3} d x$

Since $\frac{1}{3}$ is constant with respect to $x$ , move $\frac{1}{3}$ out of the integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

$u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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Let $u = 3 x$ . Find $\frac{d u}{d x}$ .

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다시 씁니다.

$\frac{3}{1}$

$3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$3$

Rewrite the problem using $u$ and $d u$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

$\sin (u)$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Since $\frac{1}{3}$ is constant with respect to $u$ , move $\frac{1}{3}$ out of the integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

간단히 합니다.

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$\frac{1}{3}$ 와 $\frac{1}{3}$ 를 곱합니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

$\sin (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \cos (u)$ 입니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ 을 $\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

$u$ 를 모두 $3 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

항을 다시 배열합니다.

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$

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