미적분 예제

$\int x e^{2 x} d x$

Step 1

$u = x$ 이고 $d v = e^{2 x}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Step 2

간단히 합니다.

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$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

$x$ 와 $\frac{e^{2 x}}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Step 3

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $x$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Step 4

$u = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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Let $u = 2 x$ . Find $\frac{d u}{d x}$ .

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Differentiate $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

Rewrite the problem using $u$ and $d u$ .

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Step 5

$e^{u}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Step 6

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $u$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Step 7

간단히 합니다.

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$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Step 8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Step 9

$\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ 을(를) $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ (으)로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Step 10

$u$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

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