미적분 예제

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} d x$

Step 1

$x^{2} + 1$ 을 $x^{2} - 1$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

피제수 $x^{2}$ 의 고차항을 제수 $x^{2}$ 의 고차항으로 나눕니다.

							$1$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					+	$x^{2}$	+	$0$	-	$1$

식을 피제수에서 빼야 하므로 $x^{2} + 0 - 1$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

						$1$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
					-	$x^{2}$	-	$0$	+	$1$
									+	$2$

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int 1 + \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Step 2

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int d x + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Step 3

Apply the constant rule.

$x + C + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Step 4

Since $2$ is constant with respect to $x$ , move $2$ out of the integral.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

Step 5

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

분수를 분해하고 전체 식에 공통분모를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

분수를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$1$ 을(를) $1^{2}$ (으)로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{x^{2} - 1^{2}}$

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 그러면 $a = x$ 이므로 $b = 1$ 입니다.

$\frac{1}{(x + 1) (x - 1)}$

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $A$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 1}$

분모의 각 인수에 대해 분모에 인수를, 분자에 미지수를 갖는 새로운 분수를 만듭니다. 분모의 인수가 1차이므로 분자에 하나의 변수 $B$ 를 적습니다.

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

방정식의 각 분수에 수식의 분모를 곱합니다. 이 경우 분모는 $(x + 1) (x - 1)$ 입니다.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

수식을 다시 씁니다.

$1 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$x + 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$1 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

$(A) (x - 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Move $- 1$ to the left of $A$ .

$1 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

$- 1 A$ 을(를) $- A$ (으)로 바꿔 씁니다.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

$x - 1$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$1 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

$(B) (x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$1 = A x - A + (B) (x + 1)$

분배 법칙을 적용합니다.

$1 = A x - A + B x + B \cdot 1$

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = A x - A + B x + B$

$- A$ 를 옮깁니다.

$1 = A x + B x - A + B$

부분 분수 변수에 대한 방정식을 세우고 이를 사용하여 연립방정식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

방정식의 각 변의 $x$ 의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$0 = A + B$

$x$ 를 포함하지 않는 항의 계수가 같도록 하여 부분분수 변수에 대한 방정식을 세웁니다. 두 방정식이 동일하려면 방정식의 각 변의 대응하는 계수가 서로 같아야 합니다.

$1 = - 1 A + B$

부분 분수의 계수를 구하는 연립방정식을 세웁니다.

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

$0 = A + B$

$1 = - 1 A + B$

연립방정식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Solve for $A$ in $0 = A + B$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$A + B = 0$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$A + B = 0$

$1 = - 1 A + B$

방정식의 양변에서 $B$ 를 뺍니다.

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

$A = - B$

$1 = - 1 A + B$

Replace all occurrences of $A$ with $- B$ in each equation.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Replace all occurrences of $A$ in $1 = - 1 A + B$ with $- B$ .

$1 = - 1 (- B) + B$

$A = - B$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 1 (- B) + B$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 1 (- B)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 = 1 B + B$

$A = - B$

$B$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$1 = B + B$

$A = - B$

$1 = B + B$

$A = - B$

$B$ 를 $B$ 에 더합니다.

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

$1 = 2 B$

$A = - B$

Solve for $B$ in $1 = 2 B$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$2 B = 1$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2 B = 1$

$A = - B$

Divide each term in $2 B = 1$ by $2$ and simplify.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$2 B = 1$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - B$

Replace all occurrences of $B$ with $\frac{1}{2}$ in each equation.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Replace all occurrences of $B$ in $A = - B$ with $\frac{1}{2}$ .

$A = - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 1$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

모든 해를 나열합니다.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

$A$ , $B$ 에 대해 구한 값을 $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ 의 각 부분 분수 계수에 대입합니다.

$\frac{- \frac{1}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

$\frac{1}{x + 1}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{(x + 1) \cdot 2} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

Move $2$ to the left of $x + 1$ .

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{\frac{1}{2}}{x - 1}$

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x - 1}$

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{x - 1}$ 을 곱합니다.

$x + C + 2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

Step 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x + C + 2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Step 7

Since $- 1$ is constant with respect to $x$ , move $- 1$ out of the integral.

$x + C + 2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Step 8

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $x$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$x + C + 2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Step 9

$u_{1} = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Let $u_{1} = x + 1$ . Find $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Differentiate $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

미분 공식에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

Rewrite the problem using $u_{1}$ and $d u_{1}$ .

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Step 10

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Step 11

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $x$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Step 12

$u_{2} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Let $u_{2} = x - 1$ . Find $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Differentiate $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

미분 공식에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

Rewrite the problem using $u_{2}$ and $d u_{2}$ .

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Step 13

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

Step 14

간단히 합니다.

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Step 15

Substitute back in for each integration substitution variable.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$u_{1}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

$u_{2}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

Step 16

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\ln (| x + 1 |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| x - 1 |)$ 을 묶습니다.

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$x + 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$x + 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

수식을 다시 씁니다.

$x - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C$

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