미적분 예제

$\int \frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} d x$

$x^{2} + 1$ 을 $x^{2} - 1$ 로 나눕니다.

$\int 1 + \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 1 d x + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Since $1$ is constant with respect to $x$ , move $1$ out of the integral.

$x + C + \int \frac{2}{x^{2} - 1} d x$

Since $2$ is constant with respect to $x$ , move $2$ out of the integral.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x^{2} - 1} d x$

$\frac{1}{x^{2} - 1}$ 의 분자와 분모를 인수분해합니다.

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$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x + C + 2 \int \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} d x$

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = x$ 이고 $b = 1$ 입니다.

$x + C + 2 \int \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} d x$

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

$x + C + 2 \int \frac{A_{1}}{x + 1} + \frac{A_{2}}{x - 1} d x$

간단히 합니다.

$x + C + 2 \int - \frac{1}{2 (x + 1)} + \frac{1}{2 (x - 1)} d x$

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$x + C + 2 (\int - \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Since $- 1$ is constant with respect to $x$ , move $- 1$ out of the integral.

$x + C + 2 (- \int \frac{1}{2 (x + 1)} d x + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $x$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$x + C + 2 (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 1} d x) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

$u_{1} = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Let $u_{1} = x + 1$ . Find $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Differentiate $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

미분 공식에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

Rewrite the problem using $u_{1}$ and $d u_{1}$ .

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{1}{2 (x - 1)} d x)$

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $x$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x)$

$u_{2} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Let $u_{2} = x - 1$ . Find $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Differentiate $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

미분 공식에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

Rewrite the problem using $u_{2}$ and $d u_{2}$ .

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$x + C + 2 (- \frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C))$

간단히 합니다.

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

Substitute back in for each integration substitution variable.

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$u_{1}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C$

$u_{2}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$x + 2 (- \frac{1}{2} \ln (| x + 1 |) + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

답을 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$\ln (| x + 1 |)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x - 1 |)) + C$

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| x - 1 |)$ 을 묶습니다.

$x + 2 (- \frac{\ln (| x + 1 |)}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |)}{2}) + C$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$x + 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$x + 2 \frac{- \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |)}{2} + C$

수식을 다시 씁니다.

$x - \ln (| x + 1 |) + \ln (| x - 1 |) + C$

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