미적분 예제

$\int \frac{x^{2} + 2 x - 1}{2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x} d x$

$\frac{x^{2} + 2 x - 1}{2 x^{3} + 3 x^{2} - 2 x}$ 의 분자와 분모를 인수분해합니다.

$\int \frac{x^{2} + 2 x - 1}{x (2 x - 1) (x + 2)} d x$

Write the fraction using partial fraction decomposition.

$\int \frac{A_{1}}{x} + \frac{A_{2}}{2 x - 1} + \frac{A_{3}}{x + 2} d x$

간단히 합니다.

$\int \frac{1}{2 x} + \frac{1}{5 (2 x - 1)} - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Split the single integral into multiple integrals.

$\int \frac{1}{2 x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $x$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

$\frac{1}{x}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| x |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{5 (2 x - 1)} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Since $\frac{1}{5}$ is constant with respect to $x$ , move $\frac{1}{5}$ out of the integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

$u_{1} = 2 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Let $u_{1} = 2 x - 1$ . Find $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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다시 씁니다.

$\frac{2}{1}$

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2$

Rewrite the problem using $u_{1}$ and $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

분수를 조합합니다.

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$\frac{1}{u_{1}}$ 와 $\frac{1}{2}$ 를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Move $2$ to the left of $u_{1}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{2 \cdot u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $u_{1}$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

분수를 조합합니다.

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$\frac{1}{2}$ 와 $\frac{1}{5}$ 를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2 \cdot 5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Since $- 1$ is constant with respect to $x$ , move $- 1$ out of the integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{10 (x + 2)} d x$

Since $\frac{1}{10}$ is constant with respect to $x$ , move $\frac{1}{10}$ out of the integral.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - (\frac{1}{10} \int \frac{1}{x + 2} d x)$

$u_{2} = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Let $u_{2} = x + 2$ . Find $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Differentiate $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

미분 공식에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

Rewrite the problem using $u_{2}$ and $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{10} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{10} (\ln (| u_{2} |) + C)$

간단히 합니다.

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간단히 합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{10} \ln (| u_{2} |) + C$

$\ln (| u_{2} |)$ 와 $\frac{1}{10}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{1}{10} \ln (| u_{1} |) - \frac{\ln (| u_{2} |)}{10} + C$

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{\frac{1}{10} \ln (| u_{1} |)}{1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{10}{10}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\frac{1}{10} \ln (| u_{1} |)}{1} \cdot \frac{10}{10} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{10} + C$

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $10$ 이 되도록 식을 씁니다.

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조합합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\frac{1}{10} \ln (| u_{1} |) \cdot 10}{1 \cdot 10} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{10} + C$

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\frac{1}{10} \ln (| u_{1} |) \cdot 10}{10} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{10} + C$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\frac{1}{10} \ln (| u_{1} |) \cdot 10 - \ln (| u_{2} |)}{10} + C$

$\frac{1}{10}$ 와 $\ln (| u_{1} |)$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\frac{\ln (| u_{1} |)}{10} \cdot 10 - \ln (| u_{2} |)}{10} + C$

$\frac{\ln (| u_{1} |)}{10}$ 와 $10$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\frac{\ln (| u_{1} |) \cdot 10}{10} - \ln (| u_{2} |)}{10} + C$

Move $10$ to the left of $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\frac{10 \cdot \ln (| u_{1} |)}{10} - \ln (| u_{2} |)}{10} + C$

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

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공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\frac{10 \ln (| u_{1} |)}{10} - \ln (| u_{2} |)}{10} + C$

$\ln (| u_{1} |)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |)}{10} + C$

$u_{1}$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\ln (| 2 x - 1 |) - \ln (| u_{2} |)}{10} + C$

$u_{2}$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} \ln (| x |) + \frac{\ln (| 2 x - 1 |) - \ln (| x + 2 |)}{10} + C$

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