미적분 예제

$\int \frac{x + 5}{x^{2} + x - 2} d x$

$\frac{x + 5}{x^{2} + x - 2}$ 의 분자와 분모를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

AC 방법을 이용하여 $x^{2} + x - 2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 2$ 이고 합은 $1$ 입니다.

$- 1, 2$

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$\int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 2)} d x$

Reorder the factors of $(x - 1) (x + 2)$ .

$\int \frac{x + 5}{(x + 2) (x - 1)} d x$

부분 분수 분해를 사용하여 분수를 씁니다.

$\int \frac{A_{1}}{x + 2} + \frac{A_{2}}{x - 1} d x$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} d x$

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{2}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Since $2$ is constant with respect to $x$ , move $2$ out of the integral.

$2 \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

$u_{1} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Let $u_{1} = x - 1$ . Find $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Differentiate $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

미분 공식에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

Rewrite the problem using $u_{1}$ and $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

$\frac{1}{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{1} |)$ 입니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{1}{x + 2} d x$

Since $- 1$ is constant with respect to $x$ , move $- 1$ out of the integral.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{x + 2} d x$

$u_{2} = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Let $u_{2} = x + 2$ . Find $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Differentiate $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

미분 공식에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

Rewrite the problem using $u_{2}$ and $d u_{2}$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$2 (\ln (| u_{1} |) + C) - (\ln (| u_{2} |) + C)$

간단히 합니다.

$2 \ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C$

Substitute back in for each integration substitution variable.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$u_{1}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$2 \ln (| x - 1 |) - \ln (| u_{2} |) + C$

$u_{2}$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$2 \ln (| x - 1 |) - \ln (| x + 2 |) + C$

문제를 입력하세요