미적분 예제

$\int x {(x^{2} - 1)}^{4} d x$

$u = x^{2} - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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Let $u = x^{2} - 1$ . Find $\frac{d u}{d x}$ .

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Differentiate $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

미분 공식에 의해 $x^{2} - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 2$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 x + 0$

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

Rewrite the problem using $u$ and $d u$ .

$\int u^{4} \frac{1}{2} d u$

$u^{4}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u^{4}}{2} d u$

Since $\frac{1}{2}$ is constant with respect to $u$ , move $\frac{1}{2}$ out of the integral.

$\frac{1}{2} \int u^{4} d u$

적분 공식에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

간단히 합니다.

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간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5}) + C$

간단히 합니다.

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$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{5} + C$

$\frac{1}{2}$ 와 $\frac{u^{5}}{5}$ 를 곱합니다.

$\frac{u^{5}}{2 \cdot 5} + C$

$2$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{u^{5}}{10} + C$

$u$ 를 모두 $x^{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{5}}{10} + C$

항을 다시 배열합니다.

$\frac{1}{10} {(x^{2} - 1)}^{5} + C$

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