미적분 예제

$y = 4 x - 2$ , $(1, 3)$

Step 1

주어진 구간 $[a, b]$ 에서의 함수 $f$ 의 제곱평균제곱근(RMS)은 원래 값의 제곱의 산술평균(평균)에 제곱근을 취한 값입니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

Step 2

실제값을 함수의 제곱평균제곱근(RMS)을 구하는 공식에 대입합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{3 - 1} \cdot (\int_{1}^{3} {(4 x - 2)}^{2} d x)}$

Step 3

적분을 계산합니다.

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$u = 4 x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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Let $u = 4 x - 2$ . Find $\frac{d u}{d x}$ .

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Differentiate $4 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 2]$

미분 공식에 의해 $4 x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

$\frac{d}{d x} [4 x]$ 의 값을 구합니다.

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$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 + \frac{d}{d x} [- 2]$

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$4 + 0$

$4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4$

Substitute the lower limit in for $x$ in $u = 4 x - 2$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 1 - 2$

간단히 합니다.

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$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 4 - 2$

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 2$

Substitute the upper limit in for $x$ in $u = 4 x - 2$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 3 - 2$

간단히 합니다.

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$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 12 - 2$

$12$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 10$

The values found for $u_{lower}$ and $u_{upper}$ will be used to evaluate the definite integral.

$u_{lower} = 2 u_{upper} = 10$

Rewrite the problem using $u$ , $d u$ , and the new limits of integration.

$\int_{2}^{10} u^{2} \frac{1}{4} d u$

$u^{2}$ 와 $\frac{1}{4}$ 을 묶습니다.

$\int_{2}^{10} \frac{u^{2}}{4} d u$

Since $\frac{1}{4}$ is constant with respect to $u$ , move $\frac{1}{4}$ out of the integral.

$\frac{1}{4} \int_{2}^{10} u^{2} d u$

적분 공식에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} \frac{1}{3} u^{3}]_{2}^{10}$

Substitute and simplify.

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$10$ , $2$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{3} \cdot 10^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

간단히 합니다.

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$10$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{3} \cdot 1000 - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

$\frac{1}{3}$ 와 $1000$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 2^{3})$

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{1}{3} \cdot 8)$

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - 8 (\frac{1}{3}))$

$- 8$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} + \frac{- 8}{3})$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1000}{3} - \frac{8}{3})$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1000 - 8}{3}$

$1000$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{992}{3}$

$\frac{1}{4}$ 에 $\frac{992}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{992}{4 \cdot 3}$

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{992}{12}$

Cancel the common factor of $992$ and $12$ .

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$992$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 (248)}{12}$

공통인수로 약분합니다.

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$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

공약수로 약분합니다.

$\frac{4 \cdot 248}{4 \cdot 3}$

수식을 다시 씁니다.

$\frac{248}{3}$

Step 4

제곱 평균 제곱근(RMS) 공식을 간단히 합니다.

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$\frac{1}{3 - 1}$ 에 $\frac{248}{3}$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{(3 - 1) \cdot 3}}$

$3$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{248}{2 \cdot 3}}$

공약수를 소거하여 수식 $\frac{248}{2 \cdot 3}$ 을 간단히 정리합니다.

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$248$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

$2 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 (3)}}$

공약수로 약분합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 124}{2 \cdot 3}}$

수식을 다시 씁니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{124}{3}}$

$\sqrt{\frac{124}{3}}$ 을(를) $\frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$ (으)로 바꿔 씁니다.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{124}}{\sqrt{3}}$

분자를 간단히 합니다.

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$124$ 을(를) $2^{2} \cdot 31$ (으)로 바꿔 씁니다.

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$124$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{4 (31)}}{\sqrt{3}}$

$4$ 을(를) $2^{2}$ (으)로 바꿔 씁니다.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 31}}{\sqrt{3}}$

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$

$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Combine and simplify the denominator.

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$\frac{2 \sqrt{31}}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

${\sqrt{3}}^{2}$ 을(를) $3$ (으)로 바꿔 씁니다.

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Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ to rewrite $\sqrt{3}$ as $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

지수 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

수식을 다시 씁니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

지수값을 계산합니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{31} \sqrt{3}}{3}$

분자를 간단히 합니다.

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근호의 곱셈 규칙을 사용하여 묶습니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 31}}{3}$

$3$ 에 $31$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

Step 5

The result can be shown in multiple forms.

완전 형식:

$f_{rms} = \frac{2 \sqrt{93}}{3}$

소수 형식:

$f_{rms} = 6.42910050 \dots$

Step 6

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