미적분 예제

$y = 5 x + 5$ , $[- 1, 1]$

주어진 구간 $[a, b]$ 에서의 함수 $f$ 의 제곱평균제곱근(RMS)은 원래 값의 제곱의 산술평균(평균)에 제곱근을 취한 값입니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

실제값을 함수의 제곱평균제곱근(RMS)을 구하는 공식에 대입합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{1 + 1} \cdot (\int_{- 1}^{1} {(5 x + 5)}^{2} d x)}$

적분을 계산합니다.

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$u = 5 x + 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 5 d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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Let $u = 5 x + 5$ . Find $\frac{d u}{d x}$ .

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다시 씁니다.

$\frac{5}{1}$

$5$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$5$

Substitute the lower limit in for $x$ in $u = 5 x + 5$ .

$u_{lower} = 5 \cdot - 1 + 5$

간단히 합니다.

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$5$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = - 5 + 5$

$- 5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 0$

Substitute the upper limit in for $x$ in $u = 5 x + 5$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1 + 5$

간단히 합니다.

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$5$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 5 + 5$

$5$ 를 $5$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 10$

The values found for $u_{lower}$ and $u_{upper}$ will be used to evaluate the definite integral.

$u_{lower} = 0 u_{upper} = 10$

Rewrite the problem using $u$ , $d u$ , and the new limits of integration.

$\int_{0}^{10} u^{2} \frac{1}{5} d u$

$u^{2}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$\int_{0}^{10} \frac{u^{2}}{5} d u$

Since $\frac{1}{5}$ is constant with respect to $u$ , move $\frac{1}{5}$ out of the integral.

$\frac{1}{5} \int_{0}^{10} u^{2} d u$

적분 공식에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} \frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{10}$

간단히 합니다.

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$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{5} \frac{u^{3}}{3}]_{0}^{10}$

$\frac{1}{5}$ 와 $\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{10}$ 을 묶습니다.

$\frac{\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{10}}{5}$

Substitute and simplify.

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$10$ , $0$ 일 때, $\frac{u^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$\frac{(\frac{10^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}}{5}$

간단히 합니다.

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$10$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{\frac{1000}{3} - \frac{0^{3}}{3}}{5}$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{\frac{1000}{3} - \frac{0}{3}}{5}$

Cancel the common factor of $0$ and $3$ .

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$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{1000}{3} - \frac{3 (0)}{3}}{5}$

공통인수로 약분합니다.

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$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}}{5}$

공약수로 약분합니다.

$\frac{\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}}{5}$

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\frac{1000}{3} - \frac{0}{1}}{5}$

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{\frac{1000}{3} - 0}{5}$

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{\frac{1000}{3} + 0}{5}$

$\frac{1000}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{\frac{1000}{3}}{5}$

$\frac{\frac{1000}{3}}{5}$ 을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\frac{1000}{3} \cdot \frac{1}{5}$

$\frac{1000}{3}$ 와 $\frac{1}{5}$ 를 곱합니다.

$\frac{1000}{3 \cdot 5}$

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1000}{15}$

Cancel the common factor of $1000$ and $15$ .

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$1000$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 (200)}{15}$

공통인수로 약분합니다.

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$15$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

공약수로 약분합니다.

$\frac{5 \cdot 200}{5 \cdot 3}$

수식을 다시 씁니다.

$\frac{200}{3}$

제곱 평균 제곱근(RMS) 공식을 간단히 합니다.

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$\frac{1}{1 + 1}$ 와 $\frac{200}{3}$ 를 곱합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{(1 + 1) \cdot 3}}$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{200}{2 \cdot 3}}$

공약수를 소거하여 수식 $\frac{200}{2 \cdot 3}$ 을 간단히 정리합니다.

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$200$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

$2 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 (3)}}$

공약수로 약분합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{2 \cdot 100}{2 \cdot 3}}$

수식을 다시 씁니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{100}{3}}$

$\sqrt{\frac{100}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{100}}{\sqrt{3}}$

분자를 간단히 합니다.

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$100$ 을 $10^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{10^{2}}}{\sqrt{3}}$

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}}$

$\frac{10}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{10}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Combine and simplify the denominator.

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$\frac{10}{\sqrt{3}}$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 를 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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$\sqrt{3}$ 을 $3^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

지수 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

$1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

지수값을 계산합니다.

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

The result can be shown in multiple forms.

완전 형식:

$f_{rms} = \frac{10 \sqrt{3}}{3}$

소수 형식:

$f_{rms} = 5.77350269 \dots$

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