미적분 예제

$y = x - 2$ , $(2, 7)$

단계 1

주어진 구간 $[a, b]$ 에서의 함수 $f$ 의 제곱평균제곱근(RMS)은 원래 값의 제곱의 산술평균(평균)에 제곱근을 취한 값입니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f {(x)}^{2} d x}$

단계 2

실제값을 함수의 제곱 평균 제곱근(RMS)을 구하는 공식에 대입합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{1}{7 - 2} \cdot (\int_{2}^{7} {(x - 2)}^{2} d x)}$

단계 3

적분을 계산합니다.

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단계 3.1

먼저 $u = x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1.1

$u = x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1.1

$x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

단계 3.1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 3.1.1.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.1.2

$u = x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 - 2$

단계 3.1.3

$2$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{lower} = 0$

단계 3.1.4

$u = x - 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 7 - 2$

단계 3.1.5

$7$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$u_{upper} = 5$

단계 3.1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

단계 3.1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{5} u^{2} d u$

단계 3.2

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{5}$

단계 3.3

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.3.1

$5$ , $0$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 5^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

단계 3.3.2

간단히 합니다.

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단계 3.3.2.1

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 125 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

단계 3.3.2.2

$\frac{1}{3}$ 와 $125$ 을 묶습니다.

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

단계 3.3.2.3

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$\frac{125}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

단계 3.3.2.4

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{125}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

단계 3.3.2.5

$0$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{125}{3} + 0$

단계 3.3.2.6

$\frac{125}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{125}{3}$

단계 4

제곱 평균 제곱근(RMS) 공식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{1}{7 - 2}$ 에 $\frac{125}{3}$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{(7 - 2) \cdot 3}}$

단계 4.2

$7$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{125}{5 \cdot 3}}$

단계 4.3

공약수를 소거하여 수식 $\frac{125}{5 \cdot 3}$ 을 간단히 정리합니다.

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단계 4.3.1

$125$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

단계 4.3.2

$5 \cdot 3$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 (3)}}$

단계 4.3.3

공약수로 약분합니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}}$

단계 4.3.4

수식을 다시 씁니다.

$f_{rms} = \sqrt{\frac{25}{3}}$

단계 4.4

$\sqrt{\frac{25}{3}}$ 을 $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ 로 바꿔 씁니다.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

단계 4.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 4.5.1

$25$ 을 $5^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$f_{rms} = \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

단계 4.5.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}}$

단계 4.6

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

단계 4.7

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 4.7.1

$\frac{5}{\sqrt{3}}$ 에 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 4.7.2

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 4.7.3

$\sqrt{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

단계 4.7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

단계 4.7.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

단계 4.7.6

${\sqrt{3}}^{2}$ 을 $3$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.7.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{3}$ 을(를) $3^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 4.7.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 4.7.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.7.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.7.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

단계 4.7.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

단계 4.7.6.5

지수값을 계산합니다.

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$f_{rms} = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

소수 형태:

$f_{rms} = 2.88675134 \dots$

단계 6

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