미적분 예제

$f (x) = 6 x - 6$ , $(0, 4)$

Step 1

$f (x) = 6 x - 6$ 가 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

Set-Builder Notation:

${x | x \in ℝ}$

$f (x)$ 는 $[0, 4]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

Step 2

$f (x) = 6 x - 6$ 가 미분 가능한지 확인합니다.

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도함수를 구합니다.

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1차 도함수를 구합니다.

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미분 공식에 의해 $6 x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 6)$

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$f' (x) = 6 + 0$

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 6$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $6$ 입니다.

$6$

도함수가 $[0, 4]$ 에서 연속인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

Set-Builder Notation:

${x | x \in ℝ}$

$f' (x)$ 는 $[0, 4]$ 에서 연속입니다.

연속 함수입니다.

도함수가 $[0, 4]$ 에서 연속이므로 이 함수는 $[0, 4]$ 에서 미분가능합니다.

이 함수는 미분가능합니다.

Step 3

호의 길이를 구하려면 함수와 도함수가 모두 닫힌 구간 $[0, 4]$ 에서 연속이어야 합니다.

함수 및 도함수는 폐구간 $[0, 4]$ 에서 연속입니다.

Step 4

$f (x) = 6 x - 6$ 의 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

미분 공식에 의해 $6 x - 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$6 + \frac{d}{d x} [- 6]$

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 6$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 6$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 6$ 입니다.

$6 + 0$

$6$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6$

Step 5

함수의 호의 길이를 구하기 위해 공식 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ 를 사용합니다.

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(6)}^{2}} d x$

Step 6

적분을 계산합니다.

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Apply the constant rule.

$\sqrt{37} x]_{0}^{4}$

Substitute and simplify.

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$4$ , $0$ 일 때, $\sqrt{37} x$ 값을 계산합니다.

$(\sqrt{37} \cdot 4) - \sqrt{37} \cdot 0$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Move $4$ to the left of $\sqrt{37}$ .

$4 \cdot \sqrt{37} - \sqrt{37} \cdot 0$

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \sqrt{37} + 0 \sqrt{37}$

$0$ 에 $\sqrt{37}$ 을 곱합니다.

$4 \sqrt{37} + 0$

$4 \sqrt{37}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \sqrt{37}$

Step 7

The result can be shown in multiple forms.

완전 형식:

$4 \sqrt{37}$

소수 형식:

$24.33105012 \dots$

Step 8

문제를 입력하십시오