미적분 예제

$y = x^{2} - 6$ , $y = x$

단계 1

곡선 사이의 교첨을 찾으려면 치환하여 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

각 방정식의 동일한 변을 소거하여 하나의 식으로 만듭니다.

$x^{2} - 6 = x$

단계 1.2

$x^{2} - 6 = x$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 1.2.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 6 - x = 0$

단계 1.2.2

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 6 - x$ 를 인수분해합니다.

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단계 1.2.2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 6$ 이고 합은 $- 1$ 입니다.

$- 3, 2 + y = x$

단계 1.2.2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 3) (x + 2) = 0$

단계 1.2.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0 + y = x$

단계 1.2.4

$x - 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 1.2.4.1

$x - 3$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 3 = 0$

단계 1.2.4.2

방정식의 양변에 $3$ 를 더합니다.

$x = 3$

단계 1.2.5

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.2.5.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 1.2.5.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 1.2.6

$(x - 3) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 3, - 2$

단계 1.3

$x = 3$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

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단계 1.3.1

$x$ 에 $3$ 를 대입합니다.

$y = 3$

단계 1.3.2

괄호를 제거합니다.

$y = 3$

단계 1.4

$x = - 2$ 이면 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

$x$ 에 $- 2$ 를 대입합니다.

$y = - 2$

단계 1.4.2

괄호를 제거합니다.

$y = - 2$

단계 1.5

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(3, 3)$

$(- 2, - 2)$

$(3, 3)$

$(- 2, - 2)$

단계 2

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 각 영역의 상위 곡선의 적분값에서 하위 곡선의 적분값을 뺀 값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- 2}^{3} x d x - \int_{- 2}^{3} x^{2} - 6 d x$

단계 3

$- 2$ 과(와) $3$ 사이의 영역을 구하려면 적분합니다.

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단계 3.1

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- 2}^{3} x - (x^{2} - 6) d x$

단계 3.2

각 항을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x - x^{2} - - 6$

단계 3.2.2

$- 1$ 에 $- 6$ 을 곱합니다.

$x - x^{2} + 6$

$\int_{- 2}^{3} x - x^{2} + 6 d x$

단계 3.3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- 2}^{3} x d x + \int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

단계 3.4

멱의 법칙에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} + \int_{- 2}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

단계 3.5

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - \int_{- 2}^{3} x^{2} d x + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

단계 3.6

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

단계 3.7

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + \int_{- 2}^{3} 6 d x$

단계 3.8

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{3}$

단계 3.9

답을 간단히 합니다.

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단계 3.9.1

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{3}$ 와 $6 x]_{- 2}^{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + 6 x]_{- 2}^{3} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3})$

단계 3.9.2

대입하여 간단히 합니다.

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단계 3.9.2.1

$3$ , $- 2$ 일 때, $\frac{1}{2} x^{2} + 6 x$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{3})$

단계 3.9.2.2

$3$ , $- 2$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \cdot 3^{2} + 6 \cdot 3) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.1

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \cdot 9 + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $9$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} + 6 \cdot 3 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.3

$6$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2} + 18 - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.4

공통 분모를 가지는 분수로 $18$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{9}{2} + 18 \cdot \frac{2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.5

$18$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{9}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{9 + 18 \cdot 2}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.7

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.7.1

$18$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{9 + 36}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.7.2

$9$ 를 $36$ 에 더합니다.

$\frac{45}{2} - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.8

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{45}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 4 + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.9

$\frac{1}{2}$ 와 $4$ 을 묶습니다.

$\frac{45}{2} - (\frac{4}{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.10

$4$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.10.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.10.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{45}{2} - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{45}{2} - (\frac{2}{1} + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.10.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{45}{2} - (2 + 6 \cdot - 2) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.11

$6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{45}{2} - (2 - 12) - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.12

$2$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$\frac{45}{2} - - 10 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.13

$- 1$ 에 $- 10$ 을 곱합니다.

$\frac{45}{2} + 10 - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.14

공통 분모를 가지는 분수로 $10$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{45}{2} + 10 \cdot \frac{2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.15

$10$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{45}{2} + \frac{10 \cdot 2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{45 + 10 \cdot 2}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.17

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.17.1

$10$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{45 + 20}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.17.2

$45$ 를 $20$ 에 더합니다.

$\frac{65}{2} - ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.18

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{65}{2} - (\frac{27}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.19

$27$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.19.1

$27$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.19.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.19.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.19.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{65}{2} - (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.19.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{65}{2} - (\frac{9}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.19.2.4

$9$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{65}{2} - (9 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3})$

단계 3.9.2.3.20

$- 2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{65}{2} - (9 - \frac{- 8}{3})$

단계 3.9.2.3.21

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{65}{2} - (9 - - \frac{8}{3})$

단계 3.9.2.3.22

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{65}{2} - (9 + 1 (\frac{8}{3}))$

단계 3.9.2.3.23

$\frac{8}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{65}{2} - (9 + \frac{8}{3})$

단계 3.9.2.3.24

공통 분모를 가지는 분수로 $9$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{65}{2} - (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{8}{3})$

단계 3.9.2.3.25

$9$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{65}{2} - (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{8}{3})$

단계 3.9.2.3.26

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{65}{2} - \frac{9 \cdot 3 + 8}{3}$

단계 3.9.2.3.27

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.27.1

$9$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{65}{2} - \frac{27 + 8}{3}$

단계 3.9.2.3.27.2

$27$ 를 $8$ 에 더합니다.

$\frac{65}{2} - \frac{35}{3}$

단계 3.9.2.3.28

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{65}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{35}{3}$

단계 3.9.2.3.29

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{35}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{65}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.9.2.3.30

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.30.1

$\frac{65}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{65 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.9.2.3.30.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.9.2.3.30.3

$\frac{35}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

단계 3.9.2.3.30.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{65 \cdot 3}{6} - \frac{35 \cdot 2}{6}$

단계 3.9.2.3.31

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{65 \cdot 3 - 35 \cdot 2}{6}$

단계 3.9.2.3.32

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.9.2.3.32.1

$65$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{195 - 35 \cdot 2}{6}$

단계 3.9.2.3.32.2

$- 35$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{195 - 70}{6}$

단계 3.9.2.3.32.3

$195$ 에서 $70$ 을 뺍니다.

$\frac{125}{6}$

단계 4

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