미적분 예제

$y = 3 x - x^{2}$ , $y = x^{2}$

$3 x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 배열합니다.

$y = - x^{2} + 3 x$

$y = x^{2}$

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 상위 곡선에서 하위 곡선을 뺀 식의 각 구간에 대한 적분값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x d x - \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x$

적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - x^{2} + 3 x - (x^{2}) d x$

$- x^{2}$ 에서 $x^{2}$ 을 뺍니다.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} + 3 x d x$

Split the single integral into multiple integrals.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Since $- 2$ is constant with respect to $x$ , move $- 2$ out of the integral.

$- 2 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

적분 공식에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + \int_{0}^{\frac{3}{2}} 3 x d x$

Since $3$ is constant with respect to $x$ , move $3$ out of the integral.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 \int_{0}^{\frac{3}{2}} x d x$

적분 공식에 의해 $x$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} x^{2}$ 가 됩니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$- 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{\frac{3}{2}}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

Substitute and simplify.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\frac{3}{2}$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{\frac{3}{2}})$

$\frac{3}{2}$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{2}}{2}$ 값을 계산합니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Cancel the common factor of $0$ and $3$ .

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$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

공통인수로 약분합니다.

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$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

공약수로 약분합니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

수식을 다시 씁니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} - 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 0) + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$\frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Cancel the common factor of $0$ and $2$ .

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$0$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

공통인수로 약분합니다.

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$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

공약수로 약분합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

수식을 다시 씁니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 0)$

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} + 0)$

$\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- 2 \frac{{(\frac{3}{2})}^{3}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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분자를 간단히 합니다.

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$\frac{3}{2}$ 에 곱의 법칙을 적용합니다.

$- 2 \frac{\frac{3^{3}}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 2 \frac{\frac{27}{2^{3}}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$- 2 \frac{\frac{27}{8}}{3} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- 2 (\frac{27}{8} \cdot \frac{1}{3}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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최대공약수 $3$ 로 인수분해합니다.

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{8} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

공약수로 약분합니다.

$- 2 (\frac{3 \cdot 9}{8} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

수식을 다시 씁니다.

$- 2 (\frac{9}{8} \cdot \frac{1}{1}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

$\frac{9}{8}$ 와 $\frac{1}{1}$ 를 곱합니다.

$- 2 (\frac{9}{8}) + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

$- 2 (\frac{9}{8})$ 을 곱합니다.

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$- 2$ 와 $\frac{9}{8}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 2 \cdot 9}{8} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

$- 2$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18}{8} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

Cancel the common factor of $- 18$ and $8$ .

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$- 18$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 (- 9)}{8} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

공통인수로 약분합니다.

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$8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot 4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

수식을 다시 씁니다.

$\frac{- 9}{4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}$

분자를 간단히 합니다.

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$\frac{3}{2}$ 에 곱의 법칙을 적용합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{2}$

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{2^{2}}}{2}$

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{\frac{9}{4}}{2}$

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2})$

$\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

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$\frac{9}{4}$ 와 $\frac{1}{2}$ 를 곱합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 \frac{9}{4 \cdot 2}$

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{4} + 3 (\frac{9}{8})$

$3 (\frac{9}{8})$ 을 곱합니다.

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$3$ 와 $\frac{9}{8}$ 을 묶습니다.

$- \frac{9}{4} + \frac{3 \cdot 9}{8}$

$3$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{4} + \frac{27}{8}$

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{9}{4}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{9}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{8}$

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $8$ 이 되도록 식을 씁니다.

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조합합니다.

$- \frac{9 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{27}{8}$

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{9 \cdot 2}{8} + \frac{27}{8}$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 9 \cdot 2 + 27}{8}$

분자를 간단히 합니다.

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$- 9$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{- 18 + 27}{8}$

$- 18$ 를 $27$ 에 더합니다.

$\frac{9}{8}$

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