미적분 예제

$y = x^{2} + x$ , $y = x + 2$

Solve by substitution to find the intersection between the curves.

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$y = x + 2$ 에서 $y$ 에 $x^{2} + x$ 을 대입하고 $x$ 를 풉니다.

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식에서 $y$ 에 $x^{2} + x$ 을 대입합니다.

$x^{2} + x = x + 2$

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$x^{2} + x - x = 2$

Combine the opposite terms in $x^{2} + x - x$ .

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$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$x^{2} + 0 = 2$

$x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$x^{2} = 2$

Take the square root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫번째 해를 구합니다.

$x = \sqrt{2}$

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두번째 해를 구합니다.

$x = - \sqrt{2}$

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

$y = x + 2$ 에서 $x$ 에 $\sqrt{2}$ 을 대입하고 $y$ 를 풉니다.

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식에서 $x$ 에 $\sqrt{2}$ 을 대입합니다.

$x = \sqrt{2}$

$y = (\sqrt{2}) + 2$

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

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괄호를 제거합니다.

$y = (\sqrt{2}) + 2$

괄호를 제거합니다.

$y = \sqrt{2} + 2$

$y = x + 2$ 에서 $x$ 에 $- \sqrt{2}$ 을 대입하고 $y$ 를 풉니다.

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식에서 $x$ 에 $- \sqrt{2}$ 을 대입합니다.

$x = - \sqrt{2}$

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

$y$ 에 대해 식을 풉니다.

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괄호를 제거합니다.

$y = (- \sqrt{2}) + 2$

괄호를 제거합니다.

$y = - \sqrt{2} + 2$

연립방정식의 해는 모든 유효한 해의 순서쌍으로 이루어진 전체 집합입니다.

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

$(\sqrt{2}, \sqrt{2} + 2)$

$(- \sqrt{2}, - \sqrt{2} + 2)$

두 곡선 사이의 영역의 넓이는 상위 곡선에서 하위 곡선을 뺀 식의 각 구간에 대한 적분값으로 정의됩니다. 영역은 두 곡선의 교점에 의해 정해집니다. 이는 대수적으로 또는 그래프로 정해집니다.

$A r e a = \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 d x - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} + x d x$

Integrate to find the area between $- \sqrt{2}$ and $\sqrt{2}$ .

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적분을 묶어 하나의 적분으로 만듭니다.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - (x^{2} + x) d x$

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x + 2 - x^{2} - x d x$

Combine the opposite terms in $x + 2 - x^{2} - x$ .

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$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$2 - x^{2} + 0$

$2 - x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 - x^{2}$

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 - x^{2} d x$

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} 2 d x + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Since $2$ is constant with respect to $x$ , move $2$ out of the integral.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} + \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - x^{2} d x$

Since $- 1$ is constant with respect to $x$ , move $- 1$ out of the integral.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - \int_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} x^{2} d x$

적분 공식에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

답을 간단히 합니다.

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$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$2 x]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

Substitute and simplify.

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$\sqrt{2}$ , $- \sqrt{2}$ 일 때, $2 x$ 값을 계산합니다.

$(2 \sqrt{2}) - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- \sqrt{2}}^{\sqrt{2}})$

$\sqrt{2}$ , $- \sqrt{2}$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$2 \sqrt{2} - 2 (- \sqrt{2}) - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

간단히 합니다.

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$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

$2 \sqrt{2}$ 를 $2 \sqrt{2}$ 에 더합니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{{\sqrt{2}}^{3}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

${\sqrt{2}}^{3}$ 을 ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{2^{3}}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- \sqrt{2})}^{3}}{3})$

$- \sqrt{2}$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- (\sqrt{2}))}^{3}}{3})$

$- (\sqrt{2})$ 에 곱의 법칙을 적용합니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- {\sqrt{2}}^{3}}{3})$

${\sqrt{2}}^{3}$ 을 ${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{2^{3}}}{3})$

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - \frac{- \sqrt{8}}{3})$

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} - - \frac{\sqrt{8}}{3})$

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + 1 \frac{\sqrt{8}}{3})$

$\frac{\sqrt{8}}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 \sqrt{2} - (\frac{\sqrt{8}}{3} + \frac{\sqrt{8}}{3})$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$4 \sqrt{2} - \frac{\sqrt{8} + \sqrt{8}}{3}$

$\sqrt{8}$ 를 $\sqrt{8}$ 에 더합니다.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{8}}{3}$

간단히 합니다.

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$8$ 을 $2^{2} \cdot 2$ 로 바꿔 씁니다.

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$8$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{4 (2)}}{3}$

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{3}$

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$4 \sqrt{2} - \frac{2 (2 \sqrt{2})}{3}$

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 \sqrt{2} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

공통 분모를 가지는 분수로 $4 \sqrt{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$4 \sqrt{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

$4 \sqrt{2}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3}{3} - \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$\frac{4 \sqrt{2} \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{3}$

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{12 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2}}{3}$

$12 \sqrt{2}$ 에서 $4 \sqrt{2}$ 을 뺍니다.

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

The result can be shown in multiple forms.

완전 형식:

$\frac{8 \sqrt{2}}{3}$

소수 형식:

$3.77123616 \dots$

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