미적분 예제

$y = 3 x^{3} + x + 3$ , $(1, 7)$

식을 미분한 값이 접선의 기울기입니다.

$y = 3 x^{3} + x + 3$ 의 도함수 $=$ $m$

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

괄호를 제거합니다.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{3} + x + h + 3$

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

이항 정리를 이용해 ${(x + h)}^{3}$ 을 $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}$ 으로 전개합니다.

$f (x + h) = 3 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + x + h + 3$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 3 (3 x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 3 (3 x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 (x^{2} h) + 9 (x h^{2}) + 3 h^{3} + x + h + 3$

괄호를 제거합니다.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

최종 답은 $3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$ 입니다.

$3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

$f (x + h) = 3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3$

$f (x) = 3 x^{3} + x + 3$

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3 - (3 x^{3} + x + 3)}{h}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3 - (3 x^{3}) - x - 1 \cdot 3}{h}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3 - 3 x^{3} - x - 1 \cdot 3}{h}$

$- 1$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 x^{3} + 9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3 - 3 x^{3} - x - 3}{h}$

$3 x^{3}$ 에서 $3 x^{3}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3 + 0 - x - 3}{h}$

$9 x^{2} h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + x + h + 3 - x - 3}{h}$

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + h + 3 + 0 - 3}{h}$

$9 x^{2} h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + h + 3 - 3}{h}$

$3$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + h + 0}{h}$

$9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + h}{h}$

$9 x^{2} h + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$9 x^{2} h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (9 x^{2}) + 9 x h^{2} + 3 h^{3} + h}{h}$

$9 x h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (9 x^{2}) + h (9 x h) + 3 h^{3} + h}{h}$

$3 h^{3}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (9 x^{2}) + h (9 x h) + h (3 h^{2}) + h}{h}$

$h$ 를 $1$ 승 합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (9 x^{2}) + h (9 x h) + h (3 h^{2}) + h}{h}$

$h^{1}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (9 x^{2}) + h (9 x h) + h (3 h^{2}) + h \cdot 1}{h}$

$h (9 x^{2}) + h (9 x h)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (9 x^{2} + 9 x h) + h (3 h^{2}) + h \cdot 1}{h}$

$h (9 x^{2} + 9 x h) + h (3 h^{2})$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2}) + h \cdot 1}{h}$

$h (9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2}) + h \cdot 1$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1)}{h}$

$9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 9 x^{2} + 9 x h + 3 h^{2} + 1$

각 항에 극한을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 9 x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 9 \cdot lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

극한의 지수 법칙을 이용하여 $x^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$lim_{h \to 0} 9 \cdot {(lim_{h \to 0} x)}^{2} + lim_{h \to 0} 9 x h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

$9 x$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$lim_{h \to 0} 9 \cdot {(lim_{h \to 0} x)}^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

$3$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$lim_{h \to 0} 9 \cdot {(lim_{h \to 0} x)}^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 1$

극한의 지수 법칙을 이용하여 $h^{2}$ 의 지수 $2$ 를 극한 밖으로 옮깁니다.

$lim_{h \to 0} 9 \cdot {(lim_{h \to 0} x)}^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $9$ 의 극한을 구합니다.

$9 \cdot {(lim_{h \to 0} x)}^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$9 \cdot x^{2} + 9 x lim_{h \to 0} h + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$9 \cdot x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 1$

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$9 \cdot x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + lim_{h \to 0} 1$

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$9 \cdot x^{2} + 9 x \cdot 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$9 x \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$0$ 에 $9$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} + 0 x + 3 \cdot 0^{2} + 1$

$0$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0^{2} + 1$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$9 x^{2} + 0 + 3 \cdot 0 + 1$

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$9 x^{2} + 0 + 0 + 1$

$9 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 x^{2} + 0 + 1$

$9 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$9 x^{2} + 1$

$9 {(1)}^{2} + 1$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$m = 9 \cdot 1 + 1$

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$m = 9 + 1$

$9$ 를 $1$ 에 더합니다.

$m = 10$

기울기는 $m = 10$ 이고 점은 $(1, 7)$ 입니다.

$m = 10, (1, 7)$

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 를 구합니다.

$y = m x + b$

방정식에 $m$ 값을 대입합니다.

$y = (10) \cdot x + b$

방정식에 $x$ 값을 대입합니다.

$y = (10) \cdot (1) + b$

방정식에 $y$ 값을 대입합니다.

$7 = (10) \cdot (1) + b$

$b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$(10) \cdot (1) + b = 7$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$(10) \cdot (1) + b = 7$

$10$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$10 + b = 7$

$b$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

방정식의 양변에서 $10$ 를 뺍니다.

$b = 7 - 10$

$7$ 에서 $10$ 을 뺍니다.

$b = - 3$

이제 $m$ 값(기울기)과 $b$ 값(y절편)을 알고 있으므로 이를 $y = m x + b$ 에 대입하여 직선의 방정식을 구합니다.

$y = 10 x - 3$

문제를 입력하세요