미적분 예제

$7 x^{2} + 3 x$ , $(1, 10)$

Step 1

식을 미분한 값이 접선의 기울기입니다.

$7 x^{2} + 3 x$ 의 도함수 $=$ $m$

Step 2

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Step 3

정의의 구성요소를 찾습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = 7 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

${(x + h)}^{2}$ 을(를) $(x + h) (x + h)$ (으)로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = 7 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 7 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 7 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 7 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$x$ 와 $h$ 을 다시 배열합니다.

$f (x + h) = 7 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = 7 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 7 (2 h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 (h x) + 7 h^{2} + 3 (x + h)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

최종 답은 $7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$ 입니다.

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 x + 3 h$

다시 배열합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3 x$ 를 옮깁니다.

$7 x^{2} + 14 h x + 7 h^{2} + 3 h + 3 x$

$7 x^{2}$ 를 옮깁니다.

$14 h x + 7 h^{2} + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$14 h x$ 와 $7 h^{2}$ 을 다시 배열합니다.

$7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 7 x^{2} + 3 x$

Step 4

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2} + 3 x)}{h}$

Step 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - (7 x^{2}) - (3 x)}{h}$

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - (3 x)}{h}$

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 7 x^{2} + 3 h + 3 x - 7 x^{2} - 3 x}{h}$

$7 x^{2}$ 에서 $7 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

$7 h^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h + 0}{h}$

$7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{7 h^{2} + 14 h x + 3 h}{h}$

$7 h^{2} + 14 h x + 3 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$7 h^{2}$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + 14 h x + 3 h}{h}$

$14 h x$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + 3 h}{h}$

$3 h$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h) + h (14 x) + h \cdot 3}{h}$

$h (7 h) + h (14 x)$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x) + h \cdot 3}{h}$

$h (7 h + 14 x) + h \cdot 3$ 에서 $h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$h$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (7 h + 14 x + 3)}{h}$

$7 h + 14 x + 3$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 7 h + 14 x + 3$

$7 h$ 와 $14 x$ 을 다시 배열합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 14 x + 7 h + 3$

Step 6

극한값을 계산합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $14 x$ 의 극한을 구합니다.

$14 x + lim_{h \to 0} 7 h + lim_{h \to 0} 3$

$7$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$14 x + 7 lim_{h \to 0} h + 3$

Step 7

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$14 x + 7 \cdot 0 + 3$

Step 8

답을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$7$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$14 x + 0 + 3$

$14 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$14 x + 3$

Step 9

$14 (1) + 3$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$14$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$m = 14 + 3$

$14$ 를 $3$ 에 더합니다.

$m = 17$

Step 10

기울기는 $m = 17$ 이고 점은 $(1, 10)$ 입니다.

$m = 17, (1, 10)$

Step 11

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 를 구합니다.

$y = m x + b$

방정식에 $m$ 값을 대입합니다.

$y = (17) \cdot x + b$

방정식에 $x$ 값을 대입합니다.

$y = (17) \cdot (1) + b$

방정식에 $y$ 값을 대입합니다.

$10 = (17) \cdot (1) + b$

$b$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$(17) \cdot (1) + b = 10$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$(17) \cdot (1) + b = 10$

$17$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$17 + b = 10$

$b$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

방정식의 양변에서 $17$ 를 뺍니다.

$b = 10 - 17$

$10$ 에서 $17$ 을 뺍니다.

$b = - 7$

Step 12

이제 $m$ 값(기울기)과 $b$ 값(y절편)을 알고 있으므로 이를 $y = m x + b$ 에 대입하여 직선의 방정식을 구합니다.

$y = 17 x - 7$

Step 13

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