미적분 예제

$y = 3 x^{2} + 3 x$ , $(1, 6)$

식을 미분한 값이 접선의 기울기입니다.

$y = 3 x^{2} + 3 x$ 의 도함수 $=$ $m$

평균변화율의 극한으로 정의된 미분 공식을 이용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

정의의 구성요소를 찾습니다.

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$x = x + h$ 일 때 함수값을 구합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $x + h$ 을 대입합니다.

$f (x + h) = 3 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h)$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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${(x + h)}^{2}$ 을 $(x + h) (x + h)$ 로 바꿔 씁니다.

$f (x + h) = 3 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h)$

FOIL 계산법을 이용하여 $(x + h) (x + h)$ 를 전개합니다.

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분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 3 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h)$

$h$ 에 $h$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

$x h$ 를 $h x$ 에 더합니다.

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$x$ 와 $h$ 을 다시 배열합니다.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

$h x$ 를 $h x$ 에 더합니다.

$f (x + h) = 3 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 3 (2 h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 (h x) + 3 h^{2} + 3 (x + h)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f (x + h) = 3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

최종 답은 $3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$ 입니다.

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 x + 3 h$

다시 배열합니다.

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$3 x$ 를 옮깁니다.

$3 x^{2} + 6 h x + 3 h^{2} + 3 h + 3 x$

$3 x^{2}$ 를 옮깁니다.

$6 h x + 3 h^{2} + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$6 h x$ 와 $3 h^{2}$ 을 다시 배열합니다.

$3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

정의의 구성요소를 찾습니다.

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

$f (x + h) = 3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x$

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x$

식에 대입합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2} + 3 x)}{h}$

간단히 합니다.

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분자를 간단히 합니다.

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분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - (3 x^{2}) - (3 x)}{h}$

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - (3 x)}{h}$

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x^{2} - 3 x}{h}$

$3 x^{2}$ 에서 $3 x^{2}$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

$3 h^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

$3 x$ 에서 $3 x$ 을 뺍니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h + 0}{h}$

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h^{2} + 6 h x + 3 h}{h}$

$3 h^{2} + 6 h x + 3 h$ 에서 $3 h$ 를 인수분해합니다.

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$3 h^{2}$ 에서 $3 h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 6 h x + 3 h}{h}$

$6 h x$ 에서 $3 h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h}{h}$

$3 h$ 에서 $3 h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h \cdot h + 3 h (2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

$3 h \cdot h + 3 h (2 x)$ 에서 $3 h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1}{h}$

$3 h (h + 2 x) + 3 h \cdot 1$ 에서 $3 h$ 를 인수분해합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

항을 간단히 합니다.

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$h$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{3 h (h + 2 x + 1)}{h}$

$3 (h + 2 x + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 (h + 2 x + 1)$

분배 법칙을 적용합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

간단히 합니다.

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$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3 \cdot 1$

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 h + 6 x + 3$

$3 h$ 와 $6 x$ 을 다시 배열합니다.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 6 x + 3 h + 3$

각 항에 극한을 적용합니다.

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$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 6 x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

$h$ 가 $0$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 곱의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$lim_{h \to 0} 6 \cdot lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} 3 h + lim_{h \to 0} 3$

$3$ 항은 $h$ 에 대해 상수이므로 극한 밖으로 옮깁니다.

$lim_{h \to 0} 6 \cdot lim_{h \to 0} x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

$h$ 가 있는 모든 곳에 $0$ 을 대입하여 극한값을 계산합니다.

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$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $6$ 의 극한을 구합니다.

$6 \cdot lim_{h \to 0} x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $x$ 의 극한을 구합니다.

$6 \cdot x + 3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3$

$h$ 에 $0$ 을 대입하여 $h$ 의 극한을 계산합니다.

$6 \cdot x + 3 \cdot 0 + lim_{h \to 0} 3$

$h$ 가 $0$ 에 가까워질 때 상수값 $3$ 의 극한을 구합니다.

$6 \cdot x + 3 \cdot 0 + 3$

답을 간단히 합니다.

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$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$6 x + 0 + 3$

$6 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$6 x + 3$

$6 (1) + 3$ 을 간단히 합니다.

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$6$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$m = 6 + 3$

$6$ 를 $3$ 에 더합니다.

$m = 9$

기울기는 $m = 9$ 이고 점은 $(1, 6)$ 입니다.

$m = 9, (1, 6)$

직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 값을 구합니다.

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직선의 방정식에 대한 공식을 이용하여 $b$ 를 구합니다.

$y = m x + b$

방정식에 $m$ 값을 대입합니다.

$y = (9) \cdot x + b$

방정식에 $x$ 값을 대입합니다.

$y = (9) \cdot (1) + b$

방정식에 $y$ 값을 대입합니다.

$6 = (9) \cdot (1) + b$

$b$ 값을 구합니다.

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$(9) \cdot (1) + b = 6$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$(9) \cdot (1) + b = 6$

$9$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$9 + b = 6$

$b$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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방정식의 양변에서 $9$ 를 뺍니다.

$b = 6 - 9$

$6$ 에서 $9$ 을 뺍니다.

$b = - 3$

이제 $m$ 값(기울기)과 $b$ 값(y절편)을 알고 있으므로 이를 $y = m x + b$ 에 대입하여 직선의 방정식을 구합니다.

$y = 9 x - 3$

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