미적분 예제

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

Step 1

2차 도함수를 구합니다

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1차 도함수를 구합니다.

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미분합니다.

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미분 공식에 의해 $x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 4$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x^{3}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 3$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (1)$

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ 의 값을 구합니다.

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$- 8$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 8 x$ 의 미분은 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 1$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

$- 8$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} (1)$

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

2차 도함수를 구합니다

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미분 공식에 의해 $4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 3$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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$6$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $6 x^{2}$ 의 미분은 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 2$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

$2$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 8)$

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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$- 8$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 8$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 8$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x + 0$

$12 x^{2} + 12 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 x^{2} + 12 x$ 입니다.

$12 x^{2} + 12 x$

Step 2

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x^{2} + 12 x = 0$ 을 풉니다.

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Set the second derivative equal to $0$ .

$12 x^{2} + 12 x = 0$

$12 x^{2} + 12 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

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$12 x^{2}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) + 12 x = 0$

$12 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

$12 x (x) + 12 x (1)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x + 1) = 0$

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Set $x$ equal to $0$ .

$x = 0$

$x + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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Set $x + 1$ equal to $0$ .

$x + 1 = 0$

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$x = - 1$

$12 x (x + 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 0, - 1$

Step 3

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

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$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

$- 8$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

숫자를 더해 식을 간단히 합니다.

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$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 0 + 1$

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0 + 1$

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (0) = 1$

최종 답은 $1$ 입니다.

$1$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 1)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 1)$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 에 $- 1$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $- 1$ 을 대입합니다.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$- 1$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

$- 8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

더하고 빼서 식을 간단히 합니다.

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$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

$- 1$ 를 $8$ 에 더합니다.

$f (- 1) = 7 + 1$

$7$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (- 1) = 8$

최종 답은 $8$ 입니다.

$8$

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ 에 $- 1$ 을 대입하여 구한 점은 $(- 1, 8)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(- 1, 8)$

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 1), (- 1, 8)$

Step 4

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Step 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $- 1.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$- 1.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

$12$ 에 $1.21$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

$12$ 에 $- 1.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

$14.52$ 에서 $13.2$ 을 뺍니다.

$f'' (- 1.1) = 1.32$

최종 답은 $1.32$ 입니다.

$1.32$

$- 1.1$ 에서의 이차 미분값은 $1.32$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이차도함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 증가함

Step 6

$(- 1, 0)$ 구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $- \frac{1}{2}$ 을 대입합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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지수 법칙 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 을 이용하여 지수를 분배합니다.

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$- \frac{1}{2}$ 에 곱의 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

$\frac{1}{2}$ 에 곱의 법칙을 적용합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

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$12$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

공약수로 약분합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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Move the leading negative in $- \frac{1}{2}$ into the numerator.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

공약수로 약분합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

수식을 다시 씁니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

$3$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

최종 답은 $- 3$ 입니다.

$- 3$

$- \frac{1}{2}$ 에서의 이차 미분값은 $- 3$ 입니다. 이 값이 음수이므로 이차 도함수는 $(- 1, 0)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(- 1, 0)$ 에서 감소함

Step 7

$(0, \infty)$ 구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

$12$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

$12$ 에 $0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

$0.12$ 를 $1.2$ 에 더합니다.

$f'' (0.1) = 1.32$

최종 답은 $1.32$ 입니다.

$1.32$

$0.1$ 에서의 이차 미분값은 $1.32$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이차도함수는 $(0, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(0, \infty)$ 에서 증가함

Step 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, 8), (0, 1)$ .

$(- 1, 8), (0, 1)$

Step 9

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