미적분 예제
2차 도함수를 구합니다
1차 도함수를 구합니다.
미분 공식에 의해 를 에 대해 미분하면 가 됩니다.
지수의 미분 법칙에 의하면 는 입니다. 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
이 에 대해 일정하므로, 를 에 대해 미분하면 입니다.
를 에 더합니다.
2차 도함수를 구합니다
은 에 대해 일정하므로 에 대한 의 미분은 입니다.
지수의 미분 법칙에 의하면 는 입니다. 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.
에 을 곱합니다.
의 에 대한 2차 도함수는 입니다.
2차 도함수를 으로 두고 식 을 풉니다.
Set the second derivative equal to .
각 항을 로 나누고 식을 간단히 합니다.
의 각 항을 로 나눕니다.
의 공약수로 약분합니다.
공약수로 약분합니다.
을 로 나눕니다.
을 로 나눕니다.
의 양변에 제곱근을 취해 좌변의 지수를 소거합니다.
을 간단히 합니다.
을 로 바꿔 씁니다.
Pull terms out from under the radical, assuming real numbers.
2차 도함수가 인 점을 구합니다.
에 을 대입하여 값을 구합니다.
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
결과를 간단히 합니다.
을 여러 번 거듭제곱해도 이 나옵니다.
에서 을 뺍니다.
최종 답은 입니다.
에 을 대입하여 구한 점은 입니다. 이 점은 변곡점입니다.
을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.
구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
결과를 간단히 합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
최종 답은 입니다.
에서의 이차 미분값은 입니다. 이 값이 음수이므로 이차 도함수는 구간에서 감소합니다.
이므로 에서 감소함
이므로 에서 감소함
구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
결과를 간단히 합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
최종 답은 입니다.
에서의 이차 미분값은 입니다. 이 값이 양수이므로 이차도함수는 구간에서 증가합니다.
이므로 에서 증가함
이므로 에서 증가함
변곡점이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 입니다.
식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.
구간 표기:
Set-Builder Notation:
Create intervals around the inflection points and the undefined values.
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
결과를 간단히 합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
최종 답은 입니다.
이 음수이므로 그래프는 구간에서 아래로 오목합니다.
Concave down on since is negative
Concave down on since is negative
수식에서 변수 에 을 대입합니다.
결과를 간단히 합니다.
를 승 합니다.
에 을 곱합니다.
최종 답은 입니다.
이 양수이므로 그래프는 구간에서 위로 오목합니다.
Concave up on since is positive
Concave up on since is positive
이차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 이차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.
Concave down on since is negative
Concave up on since is positive