미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Find the inflection points.

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2차 도함수를 구합니다

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1차 도함수를 구합니다.

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미분합니다.

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미분 공식에 의해 $x^{4} - 4 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 4$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 3$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

2차 도함수를 구합니다

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미분 공식에 의해 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 3$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{2}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 2$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 2차 도함수는 $12 x^{2} - 24 x$ 입니다.

$12 x^{2} - 24 x$

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x^{2} - 24 x = 0$ 을 풉니다.

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Set the second derivative equal to $0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

$12 x^{2} - 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

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$12 x^{2}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) - 24 x = 0$

$- 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

$12 x (x) + 12 x (- 2)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x - 2) = 0$

각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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$12 x = 0$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

$12$ 의 공약수로 약분합니다.

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공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{12}$

$0$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$x = 0$

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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인수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x - 2 = 0$

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

해는 $12 x = 0$ 과 $x - 2 = 0$ 의 결과값 입니다.

$x = 0, 2$

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

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$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3}$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3}$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 에 $2$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3}$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (2) = 16 - 4 {(2)}^{3}$

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2) = 16 - 4 \cdot 8$

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (2) = 16 - 32$

$16$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 16$

최종 답은 $- 16$ 입니다.

$- 16$

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 에 $2$ 을 대입하여 구한 점은 $(2, - 16)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(2, - 16)$

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 0), (2, - 16)$

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

결과를 간단히 합니다.

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$- 0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

$12$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 24 \cdot - 0.1$

$- 24$ 에 $- 0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 2.4$

$0.12$ 를 $2.4$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.1) = 2.52$

최종 답은 $2.52$ 입니다.

$2.52$

$- 0.1$ 에서의 이차 미분값은 $2.52$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이차도함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

$(0, 2)$ 구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 12 - 24$

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f'' (1) = - 12$

최종 답은 $- 12$ 입니다.

$- 12$

$1$ 에서의 이차 미분값은 $- 12$ 입니다. 이 값이 음수이므로 이차 도함수는 $(0, 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) < 0$ 이므로 $(0, 2)$ 에서 감소함

$(2, \infty)$ 구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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수식에서 변수 $x$ 에 $2.1$ 을 대입합니다.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 24 \cdot 2.1$

결과를 간단히 합니다.

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$2.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 24 \cdot 2.1$

$12$ 에 $4.41$ 을 곱합니다.

$f'' (2.1) = 52.92 - 24 \cdot 2.1$

$- 24$ 에 $2.1$ 을 곱합니다.

$f'' (2.1) = 52.92 - 50.4$

$52.92$ 에서 $50.4$ 을 뺍니다.

$f'' (2.1) = 2.52$

최종 답은 $2.52$ 입니다.

$2.52$

$2.1$ 에서의 이차 미분값은 $2.52$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이차도함수는 $(2, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) > 0$ 이므로 $(2, \infty)$ 에서 증가함

변곡선이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(0, 0), (2, - 16)$ 입니다.

$(0, 0), (2, - 16)$

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

Set-Builder Notation:

${x | x \in ℝ}$

Create intervals around the inflection points and the undefined values.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Substitute any number from the interval $(- \infty, 0)$ into the second derivative and evaluate to determine the concavity.

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수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

$- 24$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = 48 + 48$

$48$ 를 $48$ 에 더합니다.

$f'' (- 2) = 96$

최종 답은 $96$ 입니다.

$96$

$f'' (- 2)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 위로 오목합니다.

Concave up on $(- \infty, 0)$ since $f'' (x)$ is positive

Substitute any number from the interval $(0, 2)$ into the second derivative and evaluate to determine the concavity.

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수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 12 - 24$

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f'' (1) = - 12$

최종 답은 $- 12$ 입니다.

$- 12$

$f'' (1)$ 이 음수이므로 그래프는 $(0, 2)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

Concave down on $(0, 2)$ since $f'' (x)$ is negative

Substitute any number from the interval $(2, \infty)$ into the second derivative and evaluate to determine the concavity.

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수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

결과를 간단히 합니다.

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각 항을 간단히 합니다.

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$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

$12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

$- 24$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 192 - 96$

$192$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = 96$

최종 답은 $96$ 입니다.

$96$

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(2, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

Concave up on $(2, \infty)$ since $f'' (x)$ is positive

이차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 이차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

Concave up on $(- \infty, 0)$ since $f'' (x)$ is positive

Concave down on $(0, 2)$ since $f'' (x)$ is negative

Concave up on $(2, \infty)$ since $f'' (x)$ is positive

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