미적분 예제

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Find the inflection points.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

1차 도함수를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

미분 공식에 의해 $x^{4} - 4 x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 가 됩니다.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 4$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 4 x^{3}$ 의 미분은 $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 3$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

$3$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

2차 도함수를 구합니다

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

미분 공식에 의해 $4 x^{3} - 12 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 가 됩니다.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{3}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 3$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

$3$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 12$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 12 x^{2}$ 의 미분은 $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

지수의 미분 법칙에 의하면 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 입니다. $n = 2$ 일 때 지수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

$2$ 에 $- 12$ 을 곱합니다.

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

The second derivative of $f (x)$ with respect to $x$ is $12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

2차 도함수를 $0$ 으로 두고 식 $12 x^{2} - 24 x = 0$ 을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$12 x^{2} - 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$12 x^{2}$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) - 24 x = 0$

$- 24 x$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

$12 x (x) + 12 x (- 2)$ 에서 $12 x$ 를 인수분해합니다.

$12 x (x - 2) = 0$

각 항을 $12$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$12 x = 0$ 의 각 항을 $12$ 로 나눕니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{0}{12}$

$0$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$x = 0$

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

인수가 $0$ 이 되게 합니다.

$x - 2 = 0$

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

해는 $12 x = 0$ 과 $x - 2 = 0$ 의 결과값 입니다.

$x = 0, 2$

2차 도함수가 $0$ 인 점을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3}$

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f (0) = 0 + 0$

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (0) = 0$

최종 답은 $0$ 입니다.

$0$

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 에 $0$ 을 대입하여 구한 점은 $(0, 0)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(0, 0)$

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 에 $2$ 을 대입하여 $y$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

수식에서 변수 $x$ 에 $2$ 을 대입합니다.

$f (2) = {(2)}^{4} - 4 {(2)}^{3}$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$f (2) = 16 - 4 {(2)}^{3}$

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$f (2) = 16 - 4 \cdot 8$

$- 4$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$f (2) = 16 - 32$

$16$ 에서 $32$ 을 뺍니다.

$f (2) = - 16$

최종 답은 $- 16$ 입니다.

$- 16$

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$ 에 $2$ 을 대입하여 구한 점은 $(2, - 16)$ 입니다. 이 점은 변곡점입니다.

$(2, - 16)$

변곡점이 될 수 있는 점을 구합니다.

$(0, 0), (2, - 16)$

$(- \infty, \infty)$ 을 변곡점 가능성이 있는 점 주위 간격으로 나눕니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

$(- \infty, 0)$ 구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

수식에서 변수 $x$ 에 $- 0.1$ 을 대입합니다.

$f'' (- 0.1) = 12 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 0.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 0.1) = 12 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

$12$ 에 $0.01$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = 0.12 - 24 \cdot - 0.1$

$- 24$ 에 $- 0.1$ 을 곱합니다.

$f'' (- 0.1) = 0.12 + 2.4$

$0.12$ 를 $2.4$ 에 더합니다.

$f'' (- 0.1) = 2.52$

최종 답은 $2.52$ 입니다.

$2.52$

$- 0.1$ 에서의 이차 미분값은 $2.52$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이차도함수는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) \to 0$ 이므로 $(- \infty, 0)$ 에서 증가함

$(0, 2)$ 구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 12 - 24$

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f'' (1) = - 12$

최종 답은 $- 12$ 입니다.

$- 12$

$1$ 에서의 이차 미분값은 $- 12$ 입니다. 이 값이 음수이므로 이차 도함수는 $(0, 2)$ 구간에서 감소합니다.

$f'' (x) = < 0$ 이므로 $(0, 2)$ 에서 감소함

$(2, \infty)$ 구간에 속한 값을 이차 도함수에 대입하여 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

수식에서 변수 $x$ 에 $2.1$ 을 대입합니다.

$f'' (2.1) = 12 {(2.1)}^{2} - 24 \cdot 2.1$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$2.1$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (2.1) = 12 \cdot 4.41 - 24 \cdot 2.1$

$12$ 에 $4.41$ 을 곱합니다.

$f'' (2.1) = 52.92 - 24 \cdot 2.1$

$- 24$ 에 $2.1$ 을 곱합니다.

$f'' (2.1) = 52.92 - 50.4$

$52.92$ 에서 $50.4$ 을 뺍니다.

$f'' (2.1) = 2.52$

최종 답은 $2.52$ 입니다.

$2.52$

$2.1$ 에서의 이차 미분값은 $2.52$ 입니다. 이 값이 양수이므로 이차도함수는 $(2, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f'' (x) \to 0$ 이므로 $(2, \infty)$ 에서 증가함

변곡선이란 곡선의 오목함이 양에서 음으로 또는 음에서 양으로 바뀌는 점을 말합니다. 이 경우 변곡점은 $(0, 0), (2, - 16)$ 입니다.

$(0, 0), (2, - 16)$

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

Set-Builder Notation:

${x | x \in ℝ}$

Create intervals around the inflection points and the undefined values.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Substitute any number from the interval $(- \infty, 0)$ into the second derivative and evaluate to determine the concavity.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$- 2$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

$12$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

$- 24$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f'' (- 2) = 48 + 48$

$48$ 를 $48$ 에 더합니다.

$f'' (- 2) = 96$

최종 답은 $96$ 입니다.

$96$

$f'' (- 2)$ 이 양수이므로 그래프는 $(- \infty, 0)$ 구간에서 위로 오목합니다.

Concave up on $(- \infty, 0)$ since $f'' (x)$ is positive

Substitute any number from the interval $(0, 2)$ into the second derivative and evaluate to determine the concavity.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

수식에서 변수 $x$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

$12$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

$- 24$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f'' (1) = 12 - 24$

$12$ 에서 $24$ 을 뺍니다.

$f'' (1) = - 12$

최종 답은 $- 12$ 입니다.

$- 12$

$f'' (1)$ 이 음수이므로 그래프는 $(0, 2)$ 구간에서 아래로 오목합니다.

Concave down on $(0, 2)$ since $f'' (x)$ is negative

Substitute any number from the interval $(2, \infty)$ into the second derivative and evaluate to determine the concavity.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

수식에서 변수 $x$ 에 $4$ 을 대입합니다.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

$12$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

$- 24$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$f'' (4) = 192 - 96$

$192$ 에서 $96$ 을 뺍니다.

$f'' (4) = 96$

최종 답은 $96$ 입니다.

$96$

$f'' (4)$ 이 양수이므로 그래프는 $(2, \infty)$ 구간에서 위로 오목합니다.

Concave up on $(2, \infty)$ since $f'' (x)$ is positive

이차 미분값이 음수이면 그래프는 아래로 오목하고, 이차 미분값이 양수이면 그래프는 위로 오목합니다.

Concave up on $(- \infty, 0)$ since $f'' (x)$ is positive

Concave down on $(0, 2)$ since $f'' (x)$ is negative

Concave up on $(2, \infty)$ since $f'' (x)$ is positive

문제를 입력하세요