미적분 예제

$f (x) = x^{2} + 2 x + 1$

단계 1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1

1차 도함수를 구합니다.

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단계 1.1.1

미분합니다.

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단계 1.1.1.1

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.1.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.2.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.2.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 2 + 0$

단계 1.1.3.2

$2 x + 2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f' (x) = 2 x + 2$

단계 1.2

$f (x)$ 의 $x$ 에 대한 1차 도함수는 $2 x + 2$ 입니다.

$2 x + 2$

단계 2

1차 도함수가 $0$ 이 되도록 한 뒤 방정식 $2 x + 2 = 0$ 을 풉니다.

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단계 2.1

1차 도함수가 $0$ 이 되게 합니다.

$2 x + 2 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$2 x = - 2$

단계 2.3

$2 x = - 2$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.3.1

$2 x = - 2$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.3.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.2.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 2}{2}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.3.3.1

$- 2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$x = - 1$

단계 3

미분값을 $0$ 으로 만드는 값들은 $- 1$ 입니다.

$- 1$

단계 4

도함수 $f' (x) = 2 x + 2$ 가 $0$ 이 되거나 정의되지 않는 점을 구한 후 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$ 구간에서 $f (x) = x^{2} + 2 x + 1$ 가 증가하는지, 감소하는지를 확인합니다.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

단계 5

$(- \infty, - 1)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 5.1

수식에서 변수 $x$ 에 $- 2$ 을 대입합니다.

$f' (- 2) = 2 (- 2) + 2$

단계 5.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$f' (- 2) = - 4 + 2$

단계 5.2.2

$- 4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (- 2) = - 2$

단계 5.2.3

최종 답은 $- 2$ 입니다.

$- 2$

단계 5.3

$x = - 2$ 에서의 도함수는 $- 2$ 입니다. 미분값이 음수이므로 함수는 $(- \infty, - 1)$ 구간에서 감소합니다.

$f' (x) < 0$ 이므로 $(- \infty, - 1)$ 에서 감소함

단계 6

$(- 1, \infty)$ 구간에 속한 값을 도함수에 대입하여 함수가 증가하는지 또는 감소하는지를 판단합니다.

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단계 6.1

수식에서 변수 $x$ 에 $0$ 을 대입합니다.

$f' (0) = 2 (0) + 2$

단계 6.2

결과를 간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$f' (0) = 0 + 2$

단계 6.2.2

$0$ 를 $2$ 에 더합니다.

$f' (0) = 2$

단계 6.2.3

최종 답은 $2$ 입니다.

$2$

단계 6.3

$x = 0$ 에서의 도함수는 $2$ 입니다. 미분값이 양수이므로 함수는 $(- 1, \infty)$ 구간에서 증가합니다.

$f' (x) > 0$ 이므로 $(- 1, \infty)$ 에서 증가함

단계 7

함수가 증가하고 감소하는 구간을 구합니다.

증가: $(- 1, \infty)$

다음 구간에서 감소: $(- \infty, - 1)$

단계 8

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