대수 예제

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - b - c \\ a - b + c \\ a + b + 5 c \end{array}]$

변환은 $ℝ^{3}$ 에서 $ℝ^{3}$ 으로의 사상을 정의합니다. 선형 변환임을 증명하기 위해서는 해당 변환에서 스칼라 곱, 덧셈 및 영벡터가 보존되어야 합니다.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

먼저 변환이 이 성질을 유지하는 것을 증명합니다.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

덧셈 성질이 $S$ 에 대해 성립하는지 확인하기 위하여 두 개의 행렬을 구성합니다.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

두 행렬을 더합니다.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}])$

벡터에 변환을 적용합니다.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3}) \\ (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

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Rearrange $(x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Rearrange $(x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + 5 (x_{3} + y_{3}) \end{array}]$

Rearrange $x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} + 5 (x_{3} + y_{3})$ .

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} + y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \\ x_{1} + x_{2} + 5 x_{3} + y_{1} + y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

변수를 그룹지어 결과를 두 개의 행렬로 나눕니다.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - x_{2} - x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \\ x_{1} + x_{2} + 5 x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - y_{2} - y_{3} \\ y_{1} - y_{2} + y_{3} \\ y_{1} + y_{2} + 5 y_{3} \end{array}]$

변환의 덧셈 성질이 성립합니다.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

변환이 선형이기 위해서는 스칼라 곱을 유지해야 합니다.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

각 원소를 $p$ 로 인수분해합니다.

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행렬의 각 원소에 $p$ 을 곱합니다.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

벡터에 변환을 적용합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \\ p a + p b + 5 (p c) \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} (p a) - (p b) - (p c) \\ (p a) - (p b) + p c \\ p a + p b + 5 (p c) \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

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Rearrange $(p a) - (p b) - (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p a - p b - p c \\ (p a) - (p b) + p c \\ p a + p b + 5 (p c) \end{array}]$

Rearrange $(p a) - (p b) + p c$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p a - p b - p c \\ p a - p b + p c \\ p a + p b + 5 (p c) \end{array}]$

Rearrange $p a + p b + 5 (p c)$ .

$S (p x) = [\begin{array}{c} p a - p b - p c \\ p a - p b + p c \\ p a + p b + 5 p c \end{array}]$

행렬의 각 원소를 인수분해합니다.

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$p a - p b - p c$ 을 곱하여 원소 $0, 0$ 를 인수분해합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p a - p b + p c \\ p a + p b + 5 p c \end{array}]$

$p a - p b + p c$ 을 곱하여 원소 $1, 0$ 를 인수분해합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b + c) \\ p a + p b + 5 p c \end{array}]$

$p a + p b + 5 p c$ 을 곱하여 원소 $2, 0$ 를 인수분해합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - b - c) \\ p (a - b + c) \\ p (a + b + 5 c) \end{array}]$

이 변환에서는 선형 변환의 두번째 성질이 성립됩니다.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

선형 변환이 되려면 영 벡터가 보존되어야 합니다.

$S (0) = 0$

벡터에 변환을 적용합니다.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \\ 0 + 0 + 5 (0) \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} (0) - (0) - (0) \\ (0) - (0) + 0 \\ 0 + 0 + 5 (0) \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

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Rearrange $(0) - (0) - (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ (0) - (0) + 0 \\ 0 + 0 + 5 (0) \end{array}]$

Rearrange $(0) - (0) + 0$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 + 0 + 5 (0) \end{array}]$

Rearrange $0 + 0 + 5 (0)$ .

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

영벡터는 변환 후 그대로 유지됩니다.

$S (0) = 0$

선형 변환의 세 가지 성질을 모두 만족하지 않으므로, 이는 선형 변환이 아닙니다.

선형 변환

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