대수 예제

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} a - 3 b - 3 c \\ 3 a - b - 3 c \\ a - b + c \end{array}]$

단계 1

변환은 $ℝ^{3}$ 에서 $ℝ^{3}$ 으로의 사상을 정의합니다. 선형 변환임을 증명하기 위해서는 해당 변환에서 스칼라 곱, 덧셈 및 영벡터가 보존되어야 합니다.

S: $ℝ^{3} \to ℝ^{3}$

단계 2

먼저 변환이 이 성질을 유지하는 것을 증명합니다.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

단계 3

덧셈 성질이 $S$ 에 대해 성립하는지 확인하기 위하여 두 개의 행렬을 세웁니다.

$S ([\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}])$

단계 4

두 행렬을 더합니다.

$S [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} \\ x_{2} + y_{2} \\ x_{3} + y_{3} \end{array}]$

단계 5

벡터를 변환합니다.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} + y_{1} - 3 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ 3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

단계 6

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 6.1

$x_{1} + y_{1} - 3 (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3}) \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

단계 6.2

$3 (x_{1} + y_{1}) - (x_{2} + y_{2}) - 3 (x_{3} + y_{3})$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} + 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3} \end{array}]$

단계 6.3

$x_{1} + y_{1} - (x_{2} + y_{2}) + x_{3} + y_{3}$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} + y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} + 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} + y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

단계 7

변수를 그룹지어 결과를 두 개의 행렬로 나눕니다.

$S (x + y) = [\begin{array}{c} x_{1} - 3 x_{2} - 3 x_{3} \\ 3 x_{1} - x_{2} - 3 x_{3} \\ x_{1} - x_{2} + x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{c} y_{1} - 3 y_{2} - 3 y_{3} \\ 3 y_{1} - y_{2} - 3 y_{3} \\ y_{1} - y_{2} + y_{3} \end{array}]$

단계 8

변환의 덧셈 성질이 성립합니다.

$S (x + y) = S (x) + S (y)$

단계 9

변환이 선형이기 위해서는 스칼라 곱을 유지해야 합니다.

$S (p x) = T (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}])$

단계 10

각 원소를 $p$ 로 인수분해합니다.

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단계 10.1

행렬의 각 원소에 $p$ 을 곱합니다.

$S (p x) = S ([\begin{array}{c} p a \\ p b \\ p c \end{array}])$

단계 10.2

벡터를 변환합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} (p a) - 3 (p b) - 3 (p c) \\ 3 ((p a) - (p b) - 3 (p c)) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

단계 10.3

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 10.3.1

$(p a) - 3 (p b) - 3 (p c)$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 ((p a) - (p b) - 3 (p c)) \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

단계 10.3.2

$3 ((p a) - (p b) - 3 (p c))$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ (p a) - (p b) + p c \end{array}]$

단계 10.3.3

$(p a) - (p b) + p c$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} a p - 3 b p - 3 c p \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

단계 10.4

행렬의 각 원소를 인수분해합니다.

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단계 10.4.1

$a p - 3 b p - 3 c p$ 을 곱하여 원소 $0, 0$ 를 인수분해합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ 3 a p - 3 b p - 9 c p \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

단계 10.4.2

$3 a p - 3 b p - 9 c p$ 을 곱하여 원소 $1, 0$ 를 인수분해합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ a p - 1 b p + c p \end{array}]$

단계 10.4.3

$a p - 1 b p + c p$ 을 곱하여 원소 $2, 0$ 를 인수분해합니다.

$S (p x) = [\begin{array}{c} p (a - 3 b - 3 c) \\ p (3 a - 3 b - 9 c) \\ p (a - b + c) \end{array}]$

단계 11

이 변환에서는 선형 변환의 두 번째 성질이 성립됩니다.

$S (p [\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = p S (x)$

단계 12

선형 변환이 되려면 영 벡터가 보존되어야 합니다.

$S (0) = 0$

단계 13

벡터를 변환합니다.

$S (0) = [\begin{array}{c} (0) - 3 \cdot 0 - 3 \cdot 0 \\ 3 (0) - (0) - 3 \cdot 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

단계 14

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

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단계 14.1

$(0) - 3 \cdot 0 - 3 \cdot 0$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 3 (0) - (0) - 3 \cdot 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

단계 14.2

$3 (0) - (0) - 3 \cdot 0$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ (0) - (0) + 0 \end{array}]$

단계 14.3

$(0) - (0) + 0$ 을(를) 다시 정렬합니다.

$S (0) = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

단계 15

영벡터는 변환 후 그대로 유지됩니다.

$S (0) = 0$

단계 16

선형 변환의 세 가지 성질을 모두 만족하지 않으므로, 이는 선형 변환이 아닙니다.

선형 변환

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