대수 예제

$y = x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$

Set $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ equal to $0$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30 = 0$

$x$ 에 대해 풉니다.

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방정식의 좌변을 인수분해합니다.

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Factor $x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ using the rational roots test.

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다항함수의 계수가 정수인 경우, $p$ 가 상수의 약수이며 $q$ 가 최고차항 계수의 인수일 때 모든 유리근은 $\frac{p}{q}$ 의 형태를 가집니다.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6 q = \pm 1$

$\pm \frac{p}{q}$ 의 모든 조합을 찾습니다. 이들은 다항 함수의 해가 될 수 있습니다.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$2$ 을 대입하고 식을 간단히 합니다. 이 경우 식이 $0$ 이므로 $2$ 은 다항식의 근입니다.

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$2$ 을 다항식에 대입합니다.

$2^{3} - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$8 - 4 \cdot 2^{2} - 11 \cdot 2 + 30$

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$8 - 4 \cdot 4 - 11 \cdot 2 + 30$

$- 4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 - 16 - 11 \cdot 2 + 30$

$8$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$- 8 - 11 \cdot 2 + 30$

$- 11$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- 8 - 22 + 30$

$- 8$ 에서 $22$ 을 뺍니다.

$- 30 + 30$

$- 30$ 를 $30$ 에 더합니다.

$0$

$2$ 는 알고 있는 해이므로 다항식을 $x - 2$ 으로 나누어 몫 다항식을 구합니다. 이 다항식은 나머지 해를 찾기 위해 이용됩니다.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30}{x - 2}$

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ 을 $x - 2$ 로 나눕니다.

$x^{2} - 2 x - 15$

$x^{3} - 4 x^{2} - 11 x + 30$ 을 인수의 집합으로 표현합니다.

$(x - 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 2 x - 15$ 를 인수분해합니다.

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AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 2 x - 15$ 를 인수분해합니다.

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$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 15$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 5, 3$

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

불필요한 괄호를 제거합니다.

$(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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Set $x - 2$ equal to $0$ .

$x - 2 = 0$

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

$x - 5$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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Set $x - 5$ equal to $0$ .

$x - 5 = 0$

방정식의 양변에 $5$ 를 더합니다.

$x = 5$

$x + 3$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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Set $x + 3$ equal to $0$ .

$x + 3 = 0$

방정식의 양변에서 $3$ 를 뺍니다.

$x = - 3$

최종 해는 $(x - 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ 이 참이 되게 하는 모든 값입니다. 근의 중복도는 근이 나타나는 횟수입니다.

$x = 2$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 5$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - 3$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 2$ ( $1$ 의 중복도)

$x = 5$ ( $1$ 의 중복도)

$x = - 3$ ( $1$ 의 중복도)

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