대수 예제

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$

Step 1

문제를 쉽게 표현하기 위하여 $A$ 라는 이름으로 행렬을 표시합니다.

$A = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}]$

Step 2

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A + (- λ I_{2}))$

Step 3

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Step 4

고유값을 단위행렬에 곱한 결과를 원래 행렬에서 뺍니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Simplify each element in the matrix.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Rearrange $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 0$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}]$

Rearrange $- λ \cdot 1$ .

$p (λ) = [\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}]$

Add the corresponding elements.

$p (λ) = [\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} 0 - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$0 - λ$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & 0 - λ \end{array}]$

$0 - λ$ 을 간단히 합니다.

$p (λ) = [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{array}]$

Step 5

Find the determinant of $[\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{array}]$ .

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두 가지 표기법 모두 유효한 행렬식 표기법입니다.

$행렬식 [\begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{array}] = | \begin{array}{c} - λ & 1 \\ 1 & - λ \end{array} |$

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = (- λ) (- λ) - 1 \cdot 1$

각 항을 간단히 합니다.

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Rewrite using the commutative property of multiplication.

$p (λ) = - 1 \cdot (- 1 λ \cdot λ) - 1 \cdot 1$

Multiply $λ$ by $λ$ by adding the exponents.

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$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 1 \cdot (- 1 (λ \cdot λ)) - 1 \cdot 1$

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 1 \cdot (- 1 λ^{2}) - 1 \cdot 1$

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 1 λ^{2} - 1 \cdot 1$

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 1 \cdot 1$

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = λ^{2} - 1$

Step 6

특성 다항식을 인수분해합니다.

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$1$ 을(를) $1^{2}$ (으)로 바꿔 씁니다.

$p (λ) = λ^{2} - 1^{2}$

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 그러면 $a = λ$ 이므로 $b = 1$ 입니다.

$p (λ) = (λ + 1) (λ - 1)$

Step 7

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$(λ + 1) (λ - 1) = 0$

Step 8

$λ$ 에 대해 풀어 $(λ + 1) (λ - 1) = 0$ 의 근을 구합니다.

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방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ + 1 = 0$

$λ - 1 = 0$

$λ + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Set $λ + 1$ equal to $0$ .

$λ + 1 = 0$

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$λ = - 1$

$λ - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Set $λ - 1$ equal to $0$ .

$λ - 1 = 0$

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$λ = 1$

$(λ + 1) (λ - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = - 1, 1$

Step 9

$λ = - 1$ 의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.

$ε_{A} (- 1) = N (A - λ I_{2})$

Step 10

얻어진 값을 공식에 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] + 1 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Step 11

행렬 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Add the corresponding elements.

$[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} 0 + 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$0 + 1$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 + 0 & 0 + 1 \end{array}]$

$1 + 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 0 + 1 \end{array}]$

$0 + 1$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}]$

Step 12

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (1) + 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 13

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x_{1} + x_{2} = 0$

Step 14

이 식이 연립방정식의 해집합입니다.

${(- x_{2}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 15

각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} - x_{2} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 16

벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]$

Step 17

집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]}$

Step 18

$λ = 1$ 의 고유벡터는 행렬에서 고유값이 곱해진 단위행렬을 뺀 행렬의 영공간과 같습니다.

$ε_{A} (1) = N (A - λ I_{2})$

Step 19

얻어진 값을 공식에 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}] - 1 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Step 20

행렬 수식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Subtract the corresponding elements.

$[\begin{array}{c} 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

행렬 $[\begin{array}{c} 0 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$ 의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$0 - 1$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

$1 - 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 - 0 & 0 - 1 \end{array}]$

$1 - 0$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & 0 - 1 \end{array}]$

$0 - 1$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} - 1 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Step 21

행렬의 기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 행 연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{1}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $1$ 로 변환하기 위하여 $R_{1}$ (행 $1$ )을 행연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{1}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} - 1 \cdot R_{1} & - 1 \cdot R_{1} \\ 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{1}$

행연산 $R_{1} = - 1 \cdot R_{1}$ 에 대하여 $R_{1}$ (행 $1$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} (- 1) \cdot (- 1) & (- 1) \cdot (1) \\ 1 & - 1 \end{array}]$

$R_{1} = - 1 \cdot R_{1}$

$R_{1}$ ( $1$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

행의 일부 원소를 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 행 연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 을 실행합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

행의 일부 원소를 원하는 값인 $0$ 로 변환하기 위하여 $R_{2}$ (행 $2$ )을 행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 로 바꿉니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 \cdot R_{1} + R_{2} & - 1 \cdot R_{1} + R_{2} \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

행연산 $R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$ 에 대하여 $R_{2}$ (행 $2$ )에 원소의 실제값을 대입합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ (- 1) \cdot (1) + 1 & (- 1) \cdot (- 1) - 1 \end{array}]$

$R_{2} = - 1 \cdot R_{1} + R_{2}$

$R_{2}$ ( $2$ 행)을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Step 22

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$x_{1} - x_{2} = 0$

Step 23

이 식이 연립방정식의 해집합입니다.

${(x_{2}, x_{2}) | x_{2} \in ℝ}$

Step 24

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = [\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{2} \end{array}]$

Step 25

벡터열의 합의 성질을 이용하여 벡터를 열 벡터의 선형 조합으로 나타냅니다.

$X = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}] = x_{2} [\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]$

Step 26

집합의 영공간은 연립방정식의 자유변수로부터 생성된 벡터의 집합입니다.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Step 27

$A$ 의 고유공간은 각 고유값에 대한 벡터 공간의 합집합입니다.

${[\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \end{array}]} \cup {[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}]}$

Step 28

문제를 입력하십시오