대수 예제

${(z + 3)}^{3} = 2 i$

$z + 3$ 에 $u$ 를 대입합니다.

$u^{3} = 2 i$

삼각함수 형식으로 복소수를 표현하는 방법으로, $| z |$ 는 절대값이고 $θ$ 는 복소평면에서의 편각입니다.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

복소수의 절대값은 복소평면에서 원점으로부터의 거리입니다.

$z = a + b i$ 일 때 $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 입니다

실제값인 $a = 0$ 과 $b = 2$ 를 대입합니다.

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| z | = 2$

복소 평면에서의 점의 각은 실수 부분을 복소수 부분으로 나눈 값의 역탄젠트값입니다.

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Since the argument is undefined and $b$ is positive, the angle of the point on the complex plane is $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

$θ = \frac{π}{2}$ , $| z | = 2$ 값을 대입합니다.

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

방정식의 우변에 삼각함수 형태를 대입합니다.

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

드 무아브르의 정리를 이용해 $u$ 의 식을 찾습니다.

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

삼각함수 형식의 절대값을 $r^{3}$ 가 되게 하여 $r$ 의 값을 구합니다.

$r^{3} = 2$

좌변의 지수를 소거하기 위하여 방정식의 양변에 세제곱근을 취합니다.

$r = \sqrt[3]{2}$

$r$ 의 근사값을 구합니다.

$r = 1.25992104$

가능한 $θ$ 값을 구합니다.

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ , $s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ 식이 되도록 하는 모든 $θ$ 값 구하기.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

$r = 0$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$2 π (0)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$0$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$n = 0 : \frac{π}{2} + 0 π$ 에서

$0$ 에 $π$ 을 곱합니다.

$n = 0 : \frac{π}{2} + 0$ 에서

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

$\frac{π}{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 θ = \frac{π}{2}$

각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3 θ = \frac{π}{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\frac{π}{2}$ 와 $\frac{1}{3}$ 를 곱합니다.

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{π}{6}$

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{3} = 2 i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

$\sin (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

$i$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

분배 법칙을 적용합니다.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$1.25992104$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$u_{0} = \frac{1.25992104}{1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

최대공약수 $2$ 로 인수분해합니다.

$u_{0} = \frac{2 \cdot 0.62996052}{1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

공약수로 약분합니다.

$u_{0} = \frac{2 \cdot 0.62996052}{1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

수식을 다시 씁니다.

$u_{0} = \frac{0.62996052}{1} \cdot \frac{\sqrt{3}}{1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\frac{0.62996052}{1}$ 와 $\frac{\sqrt{3}}{1}$ 를 곱합니다.

$u_{0} = \frac{0.62996052 \sqrt{3}}{1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

$0.62996052$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$u_{0} = \frac{1.09112363}{1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

$1.09112363$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{0} = 1.09112363 + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$1.25992104$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{1} \cdot \frac{i}{2}$

최대공약수 $2$ 로 인수분해합니다.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{2 \cdot 0.62996052}{1} \cdot \frac{i}{2 \cdot 1}$

공약수로 약분합니다.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{2 \cdot 0.62996052}{1} \cdot \frac{i}{2 \cdot 1}$

수식을 다시 씁니다.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{0.62996052}{1} \cdot \frac{i}{1}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\frac{0.62996052}{1}$ 와 $\frac{i}{1}$ 를 곱합니다.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{0.62996052 i}{1}$

$0.62996052 i$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

왼쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 를 $z + 3$ 으로 치환합니다.

$z_{0} = - 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

$r = 1$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{2 π}{1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2}$

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

조합합니다.

$n = 1 : \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{1 \cdot 2}$ 에서

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$n = 1 : \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$ 에서

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

$π$ 를 $4 π$ 에 더합니다.

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\frac{5 π}{2}$ 와 $\frac{1}{3}$ 를 곱합니다.

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$θ = \frac{5 π}{6}$

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{3} = 2 i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

$\cos (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

$\sin (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

$i$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

분배 법칙을 적용합니다.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

Move the leading negative in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ into the numerator.

$u_{1} = 1.25992104 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

$1.25992104$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$u_{1} = \frac{1.25992104}{1} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

최대공약수 $2$ 로 인수분해합니다.

$u_{1} = \frac{2 \cdot 0.62996052}{1} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

공약수로 약분합니다.

$u_{1} = \frac{2 \cdot 0.62996052}{1} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2 \cdot 1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

수식을 다시 씁니다.

$u_{1} = \frac{0.62996052}{1} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\frac{0.62996052}{1}$ 와 $\frac{- \sqrt{3}}{1}$ 를 곱합니다.

$u_{1} = \frac{0.62996052 (- \sqrt{3})}{1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

$- 1$ 에 $0.62996052$ 을 곱합니다.

$u_{1} = \frac{- 0.62996052 \sqrt{3}}{1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

$- 0.62996052$ 에 $\sqrt{3}$ 을 곱합니다.

$u_{1} = \frac{- 1.09112363}{1} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

$- 1.09112363$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$1.25992104$ 를 분모가 $1$ 인 분수로 표현합니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{1} \cdot \frac{i}{2}$

최대공약수 $2$ 로 인수분해합니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{2 \cdot 0.62996052}{1} \cdot \frac{i}{2 \cdot 1}$

공약수로 약분합니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{2 \cdot 0.62996052}{1} \cdot \frac{i}{2 \cdot 1}$

수식을 다시 씁니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{0.62996052}{1} \cdot \frac{i}{1}$

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$\frac{0.62996052}{1}$ 와 $\frac{i}{1}$ 를 곱합니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{0.62996052 i}{1}$

$0.62996052 i$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

왼쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 를 $z + 3$ 으로 치환합니다.

$z_{1} = - 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

$r = 2$ 일 때 $θ$ 값을 구합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

$θ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{4 π}{1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π}{1} \cdot \frac{2}{2}$

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $2$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

조합합니다.

$n = 2 : \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{1 \cdot 2}$ 에서

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$n = 2 : \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$ 에서

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

분모가 같은 분자끼리 묶습니다.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

$π$ 를 $8 π$ 에 더합니다.

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

각 항을 $3$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ 의 각 항을 $3$ 로 나눕니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

공약수로 약분합니다.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$θ$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

$\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

최대공약수 $3$ 로 인수분해합니다.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3 (1)}$

공약수로 약분합니다.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3 \cdot 1}$

수식을 다시 씁니다.

$θ = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{1}$

$\frac{3 π}{2}$ 와 $\frac{1}{1}$ 를 곱합니다.

$θ = \frac{3 π}{2}$

$θ$ 값과 $r$ 값을 사용해 $u^{3} = 2 i$ 식의 해를 구합니다.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

해를 직교좌표 형태로 변환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

$\cos (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Move $- 1$ to the left of $i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

$- 1 i$ 을 $- i$ 로 바꿔 씁니다.

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르세요...

$0$ 에서 $i$ 을 뺍니다.

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

$- 1$ 에 $1.25992104$ 을 곱합니다.

$u_{2} = - 1.25992104 i$

왼쪽으로 이동한 후의 $z$ 값을 계산하기 위하여 $u$ 를 $z + 3$ 으로 치환합니다.

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

$u^{3} = 2 i$ 에 대한 복소수 해입니다.

$z_{0} = - 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{1} = - 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

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